第5讲 基本不等式（演练方阵）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

演练方阵 第5讲 基本不等式 ( 算术平均数和几何平均数 ) ☞考点说明：算术平均数和几何平均数的概念及简单应用是常考点 类型一 算术平均数和几何平均数的概念 【易】1、若，，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】；；c=0时；因为所以，选D. 【易】2、若，则在下列四个选项中，最大的是 ( ） A． B． C． D．b 【答案】D 【解析】有算术平均数与几何平均数可以比较得，b是这些数中最大的一个，或者特殊值法即能得到正确答案。 【易】3、若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，，所以由均值不等式知，，故选C． 【中】4、今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为，设物体的真实重量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设天平的左右臂分别为物体放在左右托盘称得的重量分别为, 真实重量为,则由杠杆平衡原理知：，，由于故，由均值不等式，真实重量是两次称重结果的几何平均数，而不是算术平均数 【中】5、若a＞b＞1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则 A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q 【答案】B 【解析】a＞b＞1lga＞0,lgb＞0.R＞Q＞P. 【中】6、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选D． 类型二 算术平均数的大小比较 【易】1、下列不等式：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①② C. ②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】①或，所以不正确； ④若，则，所以不正确，所以②③正确.本题选择C选项. 【易】2、函数取得最小值时，的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】，当且仅当时取等号,此时， 故选：B. 【易】3、下列函数中，最小值为4的是（　　） A. y=x+ B. y=sinx+（0＜x＜π） C. y=ex+4e﹣x D. y= 【答案】C 【解析】对于A，当时，，无最小值； 对于B，令t= sinx，由0＜x＜π知,易知在时，单调递减，, 故不成立； 对于D ,当且仅当x=1时“=”成立，易知最小值为，不成立. 故选C 【中】4、已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 令t=xy,则；由在上单调递减,故当时有最小值，即：时z有最小值. 本题选择C选项. 【中】5、已知，则函数的最小值是 A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【解析】有均值不等式可以得到 【中】6、已知都是正数 , 且则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,故选C. 【中】7、已知. （1）求证：； （2）求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）, ,即. (另外，作差法亦可， 左—右=不等式成立) （2）要证，只需证，只需证， ，即，原不等式成立. 【难】8、已知a>0，b>0，a＋b＝1， 求证：. 【答案】见解析 【解析】∵，∴.∴ .∴ . 从而有.即. ∴ .∴ . ( 均值定理 ) ☞考点说明：概念辨析是常考考点 类型一 均值定理以及简单公式的应用 【易】1、若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　 　) A. B. C. D．a2＋b2≥8 【答案】D 【解析】由，故A错误；,故B错误，又前面可知，故C错误;由，故D正确，选D. 【易】2、当，，时，的最大值为（ ） A.3 B.6 C.9 D. 81 【答案】C 【解析】因为，，时，选C 【易】3、已知，则的最小值为（ ） A. B. -1 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】因为所以选D. 【中】4、已知函数，则取最小值时对应的的值为（ ） A. B.