第5讲 基本不等式（讲义）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

( 第 5 讲 基本 不等式 ) 1.了解不等式的基本结构以及公式. 2.能够熟练掌握均值定理. 3.掌握均值不等式的常见变形. 1.算数平均数和几何平均数的大小应用. 2.均值定理中等号成立的条件. 3.均值不等式的常见变形. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 算术平均数与几何平均数 1. 算术平均数与几何平均数的概念 通常，我们把 （1）_______________叫做正数a，b的算术平均数； （2）_______________叫做正数a，b的几何平均数； （3）不等式≤(a>0，b>0)可以表述为：___________________________________． 2.基本不等式 （1）我们用_______________可以得出a2＋b2≥2ab，此结论中，“＝”号何时成立？ （2）若以，分别代替上述不等式中a，b，你能得出什么结论？你会用作差法证明你的结论吗？ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 当a>0，b>0时，≥，这个不等式称为_____________，也可以称为_____________． 3．基本不等式的几何解释 如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD．由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD__________圆的半径__________，可得不等式__________.当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立． 例1.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a、b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2. 练习1.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥ 练习2.已知都是正数，求证 ________________________________________________________________________________________________________________ 例2.设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 练习1.若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 练习2.下列不等式一定成立的是(　　) A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) ________________________________________________________________________________________________________________ 均值定理 1.均值定理 已知x，y都是正数， （1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即______________ （2）如果xy是定值P，那么当x＝y时，x＋y有最小值______________； （3）如果x＋y是定值S，那么当x＝y时，xy有最大值______________. 2.均值定理在最值中的应用 注意：利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条： (1)一正，即x，y都是______________； (2)二定，即xy(或x＋y)是______________；