第4讲 等式性质与不等式性质（讲义）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

第4讲 等式性质与不等式性质 1.掌握实数的大小比较方法； 2.不等式的性质的运用； 3.理解不等式性质的证明范围。 1.用不等式（组）表示实际问题当中的不等关系。 2.利用不等式研究含有不等关系的问题。 不等关系和不等式 不等式的基本性质： （1）对于任意两个实数、，都有 ； ； ． （2）比较两实数、大小的方法——求差比较法，即通过判断它们的差的符号来判断、的大小．（有时也可以利用比值来比较大小）。 例1.实数不超过，是指(　　) A．　 B． C． D． 【答案】 【解析】不超过的意思就是“”，这里要注意不能遗漏“”。 练习1. 设M＝，N＝，则M与N的大小关系是(　　) A．　 B． C． D．与有关 【答案】 【解析】，∴成立，即。 比较数或式之间的大小，只要考察它们的差值即可。 例2. 已知，，则的大小关系为(　　) A．　 B． C． D．无法确定 【答案】 【解析】∵， ∴ ，∴。 练习1.已知，比较与的大小 【答案】 【解析】，当时，1，，∴ 当时，，，∴，综上所述，总有 数字或者式子之间比较大小，除了相减之外还可以进行相除再与1比较大小的方法去求解． 不等式的性质 不等式的性质定理： 定理1：若，则；若，则．即． 定理2：若，且，则． 定理3：若，则． 定理3推论：若，且，则． 定理4：如果且，那么；如果且，那么． 推论1：如果且，那么． 推论2：如果， 那么 ． 定理5：如果，那么 ． 例3. 若，则下列不等式不能成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】利用不等式的性质判断即可知∵，∴都正确， 练习1. 设，且，则(　　) ．　 B． C． D． 【答案】 【解析】∵，且，∴，∴，故选 练习2. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是(　　) A．　 B． C． D． 【答案】 【解析】通过取特殊值法可以否定，再通过作差利用不等式的基本性质可以证明。 利用不等式的性质解题时尤其要注意正负号，可以结合特殊值法等方法去求解。 例4. 若，则下列不等式中总成立的是(　　) A．　 B． C． D． 【答案】 【解析】由得，∴，本题正确选项为。 练习1. 若，给出下列不等式：①；②；③；④.其中正确的有(　　) A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解析】由，判断的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误其中（1）（4）正确。 灵活运用不等式的性质以及推论，尤其是正负数之间大小的比较要熟练掌握。必要时可以带人特殊值求解。 不等式的综合运用 例5.如果30＜＜42,16＜＜24.分别求、及的取值范围。 【答案】46＜x＋y＜66，－18＜x－2y＜10，＜＜ 【解析】　46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；∴－18＜x－2y＜10； ∵30<x<42，＜＜，∴＜＜，即＜＜. 练习1.设f(x)＝1＋logx 3，g(x)＝2logx 2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小。 【答案】当x>或0<x<1时，f(x)>g(x)； 当1<x<时，f(x)<g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x)． 【解析】f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2＝logx(3x)－logx4＝logx. (1)当时，，故；(2)当时，，故； (3)当时，，所以；(4)当时，，所以． 练习2.已知均为正数，且，求证：. 【答案】∵均为正数，∴要证，只需证，只需证，只要证，要证，只需证，又已知， ∴原不等式成立. 【解析】可以利用分析法，作差法等方法去求解，结合不等式的相关性质即可求解 利用不等式去求取值范围，比较实数大小，判断命题的真假以及证明简单的不等式这四种情况都是常见类型，都需要完全掌握。 例2.某矿山车队有4辆载重为10的甲型卡车和7辆载重为6的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式 【答案】设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，由题意，得 ，即 【解析】设出未知数，明确题目当中的不等关系，即可得出不等式，这里要注意车辆数为整数，这是一个容易或略的地方，要尤其注意。 练习1. 某单位