第1讲 集合的含义与表示（讲义）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

第1讲 集合的含义与表示 1. 理解并熟练运用集合和元素的概念及集合的分类； 2. 掌握集合中元素的三个基本特征：确定性、互异性、无序性； 3. 熟练掌握集合的表示法； 1. 集合和元素的概念的理解是解决一些阅读形压轴题的关键； 2. 集合中元素的三个基本特征：互异性、特定性、无序性是常考考点； 3. 集合的表示法是难点； 集合与元素的概念 1. 一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。 2. 集合中每一个对象称为该集合的元素。 （教师）如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。1，2，3，4就是这个集合的元素 。类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。 特别提醒：1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示，如……；元素通常用小写的字母表示，如……。 例1.判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)9以内的正偶数； (2)篮球打得好的人； (3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员； (4)高一(1)班所有高个子同学． 【答案】（1）能（2）不能（3）能（4）不能 【解析】(2)中的“篮球打得好”，(4)中的“高个子”标准不明确，即对象不确定，所以不能构成集合． 对于(1)、(3)，其中的对象都是确定的，所以能构成集合． 练习1.有下列4组对象： 某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________． 【答案】(1)(2) 集合的概念的理解，进而引出集合的性质. 例2.下列各组对象中，不能组成集合的是(　　) A．所有的正数　　　　 B．所有的老人 C．不等于零的数 D．我国古代四大发明 【答案】B 【解析】从集合的概念，‘老’也是个不确定的概念，其它选项都符合集合的定义 练习1.能够组成集合的是（ ） A．与2非常接近的全体实数； B．很著名的科学家的全体； C．某教室内的全体桌子； D．与无理数相差很小的数 【答案】C 【解析】某教室特指“确定”的某个个体.全体是指“集”到一起。所以C选项符合题意. 集合的概念的理解，进而引出集合的性质. 作为老师定义一定要理解透彻，并能一字不差的说出来. 集合中元素的特征 1、确定性：设是一个给定的集合，是某一具体的对象，则或者是的元素，或者不是的元素，二者必居其一，不能模棱两可． 2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算是一个。如方程有两个重根，其解集只能记为，而不能记为。 3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如和表示同一个集合． 特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。 例3.集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围． 【答案】a∈R，a≠－2. 【解析】根据题意可知A中有两个元素，由集合中元素的互异性，可得a－3≠2a－1，所以a≠－2. 即实数a的取值范围为a∈R，a≠－2. 练习1.若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形　　　　 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【解析】根据集合的互异性去思考，一定不能有两个相同的元素 集合的互异性是集合的一个重要性质。一般会和具体的某些图形做结合. 例4.已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________. 【答案】-1 【解析】根据集合的互异性，求解，并排除增根. 练习1.已知集合A中含有三个元素m－1,3m，m2－1，若－1∈A，求实数m的值． 【答案】－ 【解析】根据题意：且. 练习2.已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为______________． 【答案】x≠±1，且x≠± 【解析】根据集合的互异性去思考，一定不能有两个相同的元素 集合的互异性是集合的一个重要性质。注意排除增根. 元素与集合的关系 1.一般地，如果是集合的元素，就说属于，记作；如果不是集合的元素，就说不属于，记作。 2.集合的分类： 按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：特别地，不含任何元素