专题16 动点最值之瓜豆模型（讲+练） -2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题16 动点最值之瓜豆模型 模型一、运动轨迹为直线 问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1 理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线. 模型总结： 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． 结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 例1.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值． 【答案】 【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线． 取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹． 根据∠ABP＝60°，可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值， OP2＝OA＝3，所以． 例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________． 答案答】 【分析】∵∠PAB＝90°，∠APB＝30°，∴可得：AP:AB＝，故B点轨迹也是线段， 且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为， 故B点轨迹长为． 【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？ 【答案】 【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹： 考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹． CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值． 根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．过点E作EF⊥CH于点F， 则HF＝＝1，，所以，因此CG的最小值为． 【变式训练2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为　6　． 【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示， 所以点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径为MN的长， ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝30°， ∵AB＝6，∴AD＝＝3，∵△EDM是等边三角形，∴AM＝AD＝3，∠DAM＝60°， ∴∠NAM＝30°+60°＝90°，∵AN＝AB＝3，在Rt△NAM中， 由勾股定理得：MN＝＝＝6，则M点所经历的路径长为6，故答案为：6． 【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　　． 【解答】解：E的运动路径是线段EE'的长； ∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝， 当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°， ∴DE'＝，∠CDE'＝30°， 当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为． 【变式训练4】如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF