专题15 动点最值之阿氏圆模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题15 动点最值之阿氏圆模型 背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有. 对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需 【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB ②计算出这两条线段的长度比 ③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， ④则，当A、P、C三点共线时可得最小值 例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴， ∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5， ∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B． 例2.在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_____________的最小值_______ 【答案】 【详解】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ， ∵⊙A的半径为6，即AP=6，∴，又，且， ∴，∴，∴，∴， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过C作CI⊥AB于I，∴， 在Rt△CIB中，∵，BC=8，，∴， ∴，， 在Rt△CIQ中，，∴的最小值为；故答案为：； ②连接AP，由①得：在Rt△CIA中，， 在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG， ∴， ∵，∴，且，∴， ∴， ∴，∴， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过G作GH⊥AB于H，∴， 在Rt△CIA中，，在Rt△GAH中，， ∴， ∴，， 在Rt△GHB中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 例题3. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值． 【变式训练1】如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______ 【答案】 【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延长线于F． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG， 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2， 在Rt△GDF中，DG，故答案为：； ②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是菱形，且，　∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30， ∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，∴，， ∴，且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴， ∴，∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM， 在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-， ∴MC=，∴的最小值为． 【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为 ，的最大值为 . 【答案】最小值为5，最大值为5 【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示： ∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴， 在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为； 当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：此时最大值也是DG，最大值为5. 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（