专题14 动点最值之胡不归模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题14 动点最值之胡不归模型 背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？ 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则， 由可得，提取一个得， 若想总的时间最少，就要使得最小， 如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且， 作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB， 再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点， 此时DG＋DB的最小值为BH， ， 综上，所需时间的最小值为 解决思路：构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______． 【解析】∵tanA=2，∴△ABE三边之比为，∴， 故作DH⊥AB交AB于H点，则．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小， 此时． 例2.如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　） A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【答案】D 【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V， 总时间，要使t最小，就要＋CD最小， 因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以，即，所以， 所以点D的坐标应为. 例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　　s． 【答案】 【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图， ∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝， 设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m， ∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4（s） 若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s）， ∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等， ∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间， 作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0）， 直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝， ∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b， 把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为， 解方程组得或，则E点坐标为，∴， ∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为． 【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【解析】已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点， 即可得，∴=PB+PH． 当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长． 【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是 . 【答案】 【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°， 设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2＋4a2，∴a2＝20， ， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴ ∴CD＋DH≥CM， . 【变式