专题13 动点最值之隐圆模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题13 动点最值之隐圆模型 模型一、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 例. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小． 构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为． 【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________． 【解析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2. 【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________． 【答案】8 【解析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可． 模型二、直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 例.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． 【答案】 【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧． 当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可． 【变式训练1】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ） A．2－2 B．2 C．3－1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得：BM＝CN， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4， 在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN， ∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的， 连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2， ∴PC＝OC−OP＝2−2； 故选：A． 【变式训练2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　 【解析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．答案为 【变式训练3】如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°， ∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O， 连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示： ∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝AB＝3，OD＝＝＝5， ∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A． 模型三、四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 例.如图，∽，，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是（ ）　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵△ABC∽△ADE，ADE＝∠ABE，∴点A，D，B，E四点共圆， ∵∠