专题12 动点最值之费马点模型（讲+练） -2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题12 动点最值之费马点模型 费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 证明过程： 将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE 例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC的值最小. 【解析】证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A、G、P三点一线。 ∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G、P、D三点一线。 ∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 ∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点 例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长． 【解析】如图，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG， 可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE， ∴AE+BE+CE = BE+EF+FG． ∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）． ∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上． 设正方形的边长为，那么 BO=CO=，GC=, GO=． ∴ BG=BO+GO =+． ∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为． ∴ +=，解得=2． 【变式训练1】已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝ . 【答案】 【解析】如图，在等腰Rt△DEF中，， 过点D作DM⊥EF于点M，过E、f分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则EM＝DM＝1， ，解得，则，， . 【变式训练2】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______． 【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG， 易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF 过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值． 【变式训练3】如图，P是锐角△ABC所在平面上一点，如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点。 （1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ； （2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为 ； （3）如图2，在锐角△BC外侧作等边△ACB'，连接BB'.求证：BB'过△ABC的费马点P. 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】（1）延长AP，交BC于D，如图所示：∵AB＝AC＝BC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， ∴P为三角形的内心，∴AD⊥BC，BD＝CD＝2，∠PBD＝30°， ，， ，； （2）∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC， 又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，，即； （3）证明：在BB'上取点P，使∠BPC＝120°，连接AP，再在PB'上截取PE＝PC，连接CE，如图所示： ∵∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△