专题11 动点最值之将军饮马模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题11 动点最值之将军饮马模型 模型一、两定一动模型 例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　　． 【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2， 即PA+PB的最小值为2．故答案为：2． 【变式训练1】如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示： ∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE， 即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC， ∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2， 在Rt△BCG中，∠CBG＝90º－60º＝30º，BC＝2，∴CG＝1，， ， ，即这个最小值的平方为. 【变式训练2】如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥ AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC 的周长取得最小值时，DP的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接PB、PC、PA，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可， ∵PB+PC＝PA+PB≥AB，∴当P与E重合时，PA+PB最小， ∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF， ∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5， ∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝， ∴DE＝＝，故选：B． 【变式训练3】如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？ 【答案】∠ECF＝30º 【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示： ∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM， ∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º. 模型二、一定两动 例.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、 OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB； ∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA， ∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N与M′、N′重合时， △PMN周长最小＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4，选B． 【变式训练1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2， 连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B． 【变式训练2】如