专题10 几何图形的翻折变换（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题10 几何图形的翻折变换 折叠型问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。同样的翻折类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同。本专题整理这类题目，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，从而找到这类问题特有的解题方法。 题型一、直角三角形中的折叠问题 例1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为 图1 图2 图3 【答案】2或1 【解析】①当∠EAF=90°时，如图2所示. ∵∠B=30°，BC=3 ∴， ∵∠EAF=90°，∴∠AFC=60°，∠CAF=30° 在Rt△ACF中，有：， 由折叠性质可得：∠B=∠DFE=30°， ②当∠AFE=90°时，如图3所示. 由折叠性质得：∠B=∠DFE=30°， ∴∠AFC=60°，∠FAC=30° ∴ 所以，BF=2，，综上所述，BD的长为2或1. 【变式训练1】如图在△ABC中，∠C＝90º，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处. （1）当∠B＝28º时，求∠CAE的度数； （2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长. 【答案】（1）∠CAE＝31º；（2）DE＝3 【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠B＝28º，∴∠BAC＝90º－28º＝62º， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，∴∠CAE＝∠CAB＝×62º＝31º； （2）在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，∴AD＝AC＝6，CE＝DE， ∴BD＝AB－AD＝4，设DE＝，则EB＝BC－CE＝8－， ∵Rt△BDE中，， ，解得，即DE的长为3. 【变式训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为　　． 【答案】 【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：则EG∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==， 设BE=x，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴==，解得：EG=x，BG=x， ∵点D是边BC的中点，∴CD=BD=2，∴DG=2﹣x，由折叠的性质得：DF=BD=CD，∠EDF=∠EDB， 在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴∠ADC=∠ADF， ∴∠ADF+∠EDF=×1880°=90°，即∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2， ∵AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2﹣x）2+（x）2， ∴13+（2﹣x）2+（x）2=（5﹣x）2，解得：x=，即BE=； 故答案为：． 【变式训练3】如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为 ． 图1 图2 图3 【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. ①当∠CM B′=90°时，如图2所示. 由折叠知：∠BMN=∠B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90° 即∠BNM+∠MN B′=180°，所以B、N、B′三点共线，此时B′与点A重合. 所以， ①当∠CB′M=90°时，如图3所示. 由折叠知∠B=∠B′=45°，因为∠C=45°，可得∠B′MC=45°，所以△B′MC是等腰直角三角形 设BM= B′M=x，B′C=x，则MC= x 因为BC=+1，所以x+x=+1，解得：x=1，即BM=1. 综上所述，BM的值为或1. 【变式训练4】如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD 的值是（　　） A．3/5 B．1/2 C．3/4 D．4/5 【解答】作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G． ∵在△BCG与△ODG中，∠BCG＝∠ODF，OD=BC, ∠DOF＝∠GBC，∴△BCG≌△ODG， ∴GO＝GB，∴设GO＝GB＝x，则CG＝GD＝2﹣x， 于是在Rt△CGB中，（2﹣x）+1 ＝x ；解得x＝5/4．G