专题09 几何图形的旋转变换（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题09 几何图形的旋转变换 知识点：（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） （2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 题型一、求点的坐标 例1.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（　　） A．（4，3） B．（4，4） C．（5，3） D．（5，4） 【答案】C 【解析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F． ∵A（1，0），B（﹣2，4），∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3， ∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°， ∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF， ∵AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS）， ∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，∴C（5，3），选C． 例2.如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（　　） A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，） 【解析】∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB5， 根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12， 所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0）， 又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．选B． 【变式训练1】如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，2），过点B作BA⊥y轴于点A，连接OB将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45º，得到△A’OB’，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】将线段OB绕点O顺时针旋转90º得到OE.连接BE交OB于F，作FH⊥x轴于H，BG⊥x轴于G，如图所示： ∵B（1，2），可得E（2，－1），∵∠BOF＝∠EOF，OB＝OE，∴BF＝EF， ， ∵FH∥B’G，， . 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，） B．（﹣2，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，） 【答案】D 【解析】作B′H⊥x轴于H． 由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°， ∴∠A′B′H＝30°， ∴AH′A′B′＝1，B′H，∴OH＝3，∴B′（﹣3，），选D． 【变式训练3】如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标，底边OB在x轴上。将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A’O'B，点A的对应点A’在x轴上，则点O’的坐标为（ ） A. B. C. D. 【解答】D 【解析】如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O’作OD⊥A’B于D， ∵A（2，5），∴OC＝2，AC＝， 由勾股定理得， ∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB＝20C＝2×2＝4， 由旋转的性质得，BO’＝OB＝4，∠A’BO’＝∠ABO， ∵sin∠ABO＝sin∠O'BD，， ， ，. 【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D． 【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1， ∴B（1，1）， 连接OB，由勾股定理得：OB， 由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， 相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°， ∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（，0），B（﹣1，﹣1），…， 发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）， 选C． 模型二、几何图形的旋转 例1.如图1，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H． （1）求出∠ACE的度数； （2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由； （3）若将△CDE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，说明理由．