专题07 相似三角形的五种模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题07 相似三角形的五种模型 相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。 模型一、A字型 A字型（平行） 反A字型（不平行） 例.如图，在中，点分别在上，且． （1） 求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC； （2） ∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,，∴． 【变式训练1】已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA． （1）求证：EF∥BD； （2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA． 【答案】见解析 【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴， ∵CD2＝CF•CA．∴，∴，∴EF∥BD； （2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD， ∵AC•CF＝BC•CE，∴，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A， ∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴∴BD2＝BA•DE 【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3． （1）求CE的长． （2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由． 【答案】（1）6；（2）见解析 【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6． （2）结论正确，理由如下， 在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理可得：，∴ 【变式训练3】如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【解析】解：（1）∵平分，，∴． 在中，，，， ∴． 在中，，，， ∴．∴． ∵，∴ ∴． ∴． （3） ∵点是线段的中点， ∴． ∵，∴ ∴．∴． ∵，∴ ∴ ∴． 模型二、8字型与反8字型相似 例.如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE． 【答案】见解析 【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC， ∵BA•BC＝BD•BE．即，∴△ABD∽△EBC； （2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE， ∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC， ∴△AED∽△ABD，∴，即AD2＝BD•DE． 【变式训练1】如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 【答案】 【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO，DO．∴， ∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D． （2） ∵∠A＝∠D，∴AB∥CD， ∴，，∴． ∵AE＝BE，∴CF＝DF． 【变式训练2】如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值 【答案】 【解析】∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴， ∵，∴CDBD，∴， ∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴． 【变式训练3】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】解：（1）∵，∴． 又∵．∴． （2）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，．∴，． 又∵点是中点，∴． 由（1）知，∴，∴． 又∵，∴． 模型三、AX型（A字型及X字型两者相结合） 例.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴， 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，即，∴FC＝6． 【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的