专题06 全等三角形的五种模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题06 全等三角形的五种模型 全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。 模型一、截长补短模型 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF， 可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°， ∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG. ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°， 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 例1.如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【详解】解：如图，在上截取 连接 平分 故选： 【变式训练1】如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． （1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； （2）连CE，求证：BE＝AE+CE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形； （2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF， ∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC， ∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE， 在△ABF与△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE， ∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE， ∴， ∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴AF＝FE， ∴BE＝BF+FE＝CE+AE． 【变式训练2】如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________． 【答案】40° 【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF， ∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°， ∠ADB=60°，∠BDC=120°， BD=BD，△ABD≌△FBD， DE=DA， DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°， DC=DC，△DEC≌△DFC， ； 故答案为40°． 【变式训练3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）3 【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形，∴，， 在与中，， ，，， ，，∴， ，， 在与中，， ，， 又∵，，； （2），理由如下： 如图，在BM上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形，∴，， 在与中，， ， ，，∴，∴， 又，， 在与中，， ，， 又∵，，∴， 故答案为：； （3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， 在与中，， ，，， ∴，∴， 又，， 在与中，， ，， 设，∵，， ∴，， ∵，∴，解得：，∴， ∵，∴， 在与中，， ，， ∴CP的长为3． 模型二、平移全等模型 例.如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）BE=3． 【详解】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF， 在△