专题05 一线三垂直模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题05 一线三垂直模型 模型一、一线三垂直模型（全等三角形） 如图所示，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 例.如图，将边长为5正方形OACD放在平面直角坐标系中，О是坐标原点，点D的坐标为横坐标为3，求A的坐标． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，∴ ∵四边形OACD是正方形，∴，，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵正方形边长为5，点D的横坐标为3，即，，∴ ∴，，又∵点A在第二象限，∴点A的坐标为， 答：点A的坐标为． 【变式训练1】如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长． 【答案】3 【详解】解：∵，，∴，∴． ∵，∴． 在和中，，∴≌（AAS）， ∴，， ∴． 【变式训练2】如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________ 【答案】 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴点C的坐标为， 故答案为：． 【变式训练3】在平面直角坐标系中，，点在第一象限，， （1）如图，求点的坐标． （2）如图，作的角平分线，交于点，过点作于点，求证： （3）若点在第二象限，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或或 【详解】解：如图中，作垂足为， ，，， 在和中， ， 点坐标； 如图，延长相交于点， ， 在和中，，，， 在和中，，，； （3）①如图，，，过点P作轴于点D， 在和中，，∴， ∴，， ∴，∴； ②如图，，，过点P作轴于点D， 在和中，，∴，∴，， ∴，∴； ③如图，，，过点P作轴于点E，过点A作于点D， ∵，，∴， 在和中，，∴， 设，， ∵，，∴，解得， ∴，， ∴； 综上：点P的坐标是或或． 模型二、一线三垂直模型（相似三角形） 如图，∠B=∠C=∠APE推出△ABP∽△PCD（一线三等角） 例．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长度为________． 【答案】 【详解】解：在中，设，，，解得：， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ，故答案为：． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第二象限，点和点在第一象限，对角线的中点为点，且点在反比例函数的图像上，若点的纵坐标为4，且，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b， ∵四边形OCBA是矩形，∴∠BCO=90°，∴∠OCE+∠FCB=90°， ∵∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC=∠ECO， ∵∠F=∠CEO=90°，∴△ECO∽△FBC∴， ∴FB=EC=b，FC=EO=a， ∵点的纵坐标为4，∴FC+EC=4，∴a +b=4， 过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N， 则四边形BFEM是矩形，BM=4，∴OM=OE-ME=a-b， ∵的中点为点，∴DN是三角形OBM的中位线， ∴DN=2，ON=，∴点D（，2）， ∵点在反比例函数的图像上， ∴×2=ab，∴a-（4-a）=a（4-a）， ∴a-4+3a=4a-，∴=4，∴a=2或a= -2， ∵点C在第一象限，∴a＞0，∴a= -2 不符合题意，舍去，∴a=2， ∴b=4-a=4-2，∴k=ab=2（4-2）=， 故选A． 【变式训练2】如图，在正方形中，点在上，交于点． （1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°， ∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF． 在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF ； （2）∵△ABE∽△DEF，∴， ∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴点E为AD的中点． 【变式训练3】如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：点在直线上