专题04 半角模型与倍角模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题04 半角模型与倍角模型 模型一、正方形中含半角模型 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　4　． 【答案】4 【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF； ∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°， 在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF， ∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1， 设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝， ∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝， ∴CF＝＝＝4， 故答案为：4． 【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）3 【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形，∴，， 在与中，， ，，， ，，∴， ，， 在与中，， ，， 又∵，，； （2），理由如下： 如图，在BM上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形，∴，， 在与中，， ，，， ∴，∴， 又，， 在与中，， ，， 又∵，，∴，故答案为：； （3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， 在与中，， ，，， ∴，∴， 又，， 在与中，， ，， 设， ∵，，∴，， ∵，∴，解得：，∴， ∵，∴， 在与中，， ，， ∴CP的长为3． 【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD． （1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明； （2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明． 【答案】见解析 【详解】解：（1）证明：延长MB到G，使BG＝DN，连接AG． ∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN．∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4． ∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝∠BAD．∴∠GAM＝∠MAN． 又AM＝AM，∴△AMG≌△AMN．∴MG＝MN． ∵MG＝BM+BG．∴MN＝BM+DN． （2）MN＝BM﹣DN．证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，∴△ADN≌△ABG， ∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝∠DAB， ∴∠MAG＝∠BAD，∴∠MAN＝∠MAG，∴△MAN≌△MAG，∴MN＝MG，∴MN＝BM﹣DN． （3） MN＝DN﹣BM． 模型二、 等腰直角三角形角含半角模型 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 例.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由. 【答案】见解析 【详解】解析：因为△ABD绕点A旋转，得到 ∴AD=，∠DAD’=∠BAC=90° ∵∠DAE=45°，∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45° ∴在△AED和△中，AE=AE，∠EAD=∠AED’，AD=AD’ ∴△AED≌△AED’，∴DE=D’E 由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’ 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45° ∵△ABD绕点A旋转，得到