专题03 对角互补的三种模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题03 对角互补的三种模型 对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似. 模型一、含90°的全等型 1.如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2.如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 例1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　　． 【答案】3 【详解】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形， ∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF， ∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5， 设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3． 故答案为3． 【变式训练1】如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形 OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定 值，并求这个定值． 【答案】25 【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点， 重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25， 当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F， 如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH， ∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25． 【变式训练2】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角， 另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积． 【答案】2 【详解】解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点， 则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°， 所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形， 又因为AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形， 在△ABC和△ADC′中 ，∴△ABC≌△ADC′（SAS）， ∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积， 所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2． 【变式训练3】3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A（0，2），B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，，则点C的坐标为 . 【答案】C（6，4） 【详解】如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM. ∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90º，AO∥MF∥CE， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90º，AM＝CM， ∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位线，， ， ∴OB＝CE，AO＝BE，， 又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形， . 模型二、 含60°与120°的全等型 如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB. 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 例.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若∠A＝60º，∠EDF＋∠A＝180º，求证：. 【答案】见解析 【详解】取AB的中点G，连接DG，如图所示： ∵AB＝AC，∠A＝60º，∴△ABC是等边三角形， ∵点D、G分别是AB、BC的中点， ∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝DC＝BD， ∵∠B＝60º，∴△BDG是等边三角形， ∴∠BGD＝∠C， ∵∠AED＋∠AFD＝180º，且∠AFD＋∠DFC＝180º， ∴∠AED＝∠DFC，∴△GED≌△CFD， ∴EG＝FC， ∴BE＋CF＝BE＋EC＝BG＝. 【变式训练】在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F. （1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F， 求证：DE＝DF； （3