专题02 单中点与双中点模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题02 单中点与双中点模型 有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，. 例.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】C 【详解】解：连接DE，如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， ∵CD⊥AB，∴AD=BD，即点D为AB的中点． ∵E为BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE=AC，∴△DEF∽△CAF， ∴DF：CF=DE：AC=1：2，∴DF=CD=，∴CD=．∴AB=2． ∵AC=BC，∴AC2+BC2=2AC2=AB2=8．∴AC=BC=2．∴CE=1． 在直角△ACE中，由勾股定理知：AE=． 故选：C． 【变式训练1】如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN． 【答案】见解析 【详解】证明：连接BG和CE交于O， ∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC， ∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC， 在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE． ∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG， ∵BG＝CE，∴QN＝MQ． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，顶点和边的中点均在函数的图象上，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，，则，， ∵是边的中点，， 设，则， ∵顶点和边的中点均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为， ，，，，，． 故选：． 【变式训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 . 【答案】 【详解】如图，过点A作AM∥DE交BC的延长线于点M，过点C作CN⊥AM，垂足为N. ∵D是AB的中点，∴E为BM的中点，即BE＝EM， 又∵DE平分△ABC的周长，∴AC+CE＝BE，∴MC+CE＝AC+CE，∴MC＝AC， ∵CN⊥AM，∠ACB＝60°，∴∠CAN＝60°， 在Rt△CAN中，AN＝AC·sin60º＝，∴AM＝2AN＝，∴DE＝AM＝. 模型二、 单中点-倍长中线模型 例.如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F． ∵CE是的中线，，∴，，， 在和中，∵∴（AAS）， ∴，，∴， 又∵，CB是的中线，∴， ∵，∵，∴， 在和中，∵ ∴（SAS）， ∴． 【变式训练1】已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【详解】（1）①∵，，∴ ∵，∴ 又∵，∴ ∴，故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点，∴， 又∵，∴≌，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴． （2）．如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌，∴，， ∵．∴≌，∴． 【变式训练2】如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动： 探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论； 探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度． 【答案】见解析 【详解】（1）AB＝AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G点， 根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG， 又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G 而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF， ∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF； （2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点， 根据CF∥AB得△ABE∽△G