精讲03 等比数列-【题型·技巧培优系列】2021-2022学年高二数学同步培优精讲+精测（北师大版选择性必修第二册）

精讲03 等比数列 【题型解读】 【题型精讲】 【题型一　等比数列基本量的运算】 必备技巧 等比数列运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 例1　（2021·江西·贵溪市实验中学月考）已知等比数列中，，则公比（ ） A．9或-11 B．3或-11 C．3或 D．3或-3 例2　（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【题型精练】 1.（2020•全国1卷）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 2.（2020•全国2卷）数列中，，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.（2020•江苏卷）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______． 4.（2020•新全国1山东）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【题型二　等比数列的性质及应用】 必备技巧 等比数列的性质 (1)．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. (2)．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (3)．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (4)．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (5)．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. (6)．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 例3　(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　) A．2　　　　　 B．1 　　　　　 C. 　　　　　　D. (2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A. 　　　　　　B．－　 　　　　　　　C. 　　　　　　 D. (3)已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　) A．4　　　　　　 B．6 　　　　　C．8 　　　　　　　　　D．－9 (4)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________. (5)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝________. (6)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. 【题型精练】 1．（2021·全国高三模拟）(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________. (2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________. 2．（2021年全国高考甲卷）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3. （2021·济南模拟）已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________. 4．（2021·全国高三检测）已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________. 【题型三　等比数列的判定与证明】 必备技巧 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数