第5课（B培优）数列的综合-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第18课：数列的综合 教学目标 掌握数列与其他章节知识点的综合运用 重 点 数列与其他章节知识点的灵活运用 难 点 数列与其他章节知识点的灵活运用 （一）等差与等比数列的综合 知识梳理 一、等差数列、等比数列 ①等差数列通项公式： 等差数列求和公式： ； ②等比数列通项公式： 等比数列求和公式： 例题精讲 【例1】已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：设等差数列的公差为，则，由已知， 即，得，于是，在等比数列中， 公比． 由为数列的第项，知； 由为数列的第项，知，， 故. 故答案为． 【例2】已知数列满足奇数项成等差，公差为d，偶数项成等比，公比为q，且数列的前n项和为，，．，．若，则正整数______． 【难度】★★★ 【答案】2 【解析】因为，，所以，， 又，，奇数项成等差，公差为，偶数项成等比，公比为， 可得，，解得，． ①当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， ②当为奇数时，由，可得，即， 当时，不合题意； 当时，右边小于2，左边大于2，等式不成立； 当为偶数时，，可得，解得．综上，．故答案为：2． 巩固训练 1、已知在等差数列中，，，前项和为，等比数列满足，，前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：设等比数列的公比为，则由题意可得，数列单调递增，又，所以． 法二：不妨取，则等比数列的公比，所以，，显然,故选：A． 2、已知等差数列和等比数列满足，，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，∴，，∴，. （2）当的前60项中含有的前6项时，令， 此时至多有项（不符）. 当的前60项中含有的前7项时，令， 且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项. ∴. （二）数列与不等式 例题精讲 【例3】已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ） A．2008 B．2014 C．2021 D．2022 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】由题意，，，，又 是以4为首项，为公比的等比数列 记的前n项之和为，， 由于单调递增，单调递减，故关于单调递增 由于 ，由于 故满足不等式的最小整数n是2014，故选：B 【例4】数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为___________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】由，可得， ∴数列是首项，公差的等差数列，则， ∴，由已知有：， 当时，显然符合题意， 当时，由已知得：. 设，则， ∴数列递增，则的最小值为，故只需.故答案为：. 【例5】若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列. （1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围； （2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围； 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）因为为（3）数列，所以，则，解得， 即的取值范围是，； （2）由数列为（4）数列，可得或， 当时，由，，所以． 则， 所以，即； 当时，由，，所以． 则， 所以，即，所以，则的取值范围是； 巩固训练 1、已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴当时，有，两式相减得，即， 又当时，有，解得. ∴，. ∵对于任意的，，不等式恒成立， ∴.解得，故选：B 2、已知等比数列的公比，且，，等差数列的前项和为，且有，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；；（2）. 【解析】解：（1）等比数列中，，， 故，又，所以，故； 等差数列中，，即，又， 故，所以，故； （2）因为，， 故， 则， 两式作差得： 故，所以恒成立， 当n是偶数时，不等式即，易见是递增数列，故时取得最小值，所以， 当n是奇数时，不等式即，易见是递减数列，故时取得最大值，所以， 综上可知，实数的取值范围是. （三）数列与函数 例题精讲 【例6】已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数). （1）若，且数列是等差数列，求实数的值； （2）若数列满足，求通项公式； （3）若，数列是等比数列，且，，试证明：. 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】由数列满足，，， . （1）因为数列是等差数列，，， 记