第4课（B培优）数学归纳法-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第4课：数学归纳法 教学目标 1、掌握数学归纳法证明的一般步骤； 2、能应用归纳——猜想——论证的解题思路，解决相应的数学问题 重 点 1、数学归纳法证明的一般步骤； 2、数学归纳法证明的应用 难 点 1、数学归纳法证明的一般步骤； 2、数学归纳法证明的应用 （一）数学归纳法 知识梳理 1、 归纳法：由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法； 备注：归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律，这种归纳得到的结论需要证明！ 2、数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时，命题成立； （2）(归纳递推)假设(为正整数)时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 备注：①注意命题中取满足题意中最小的第一个值，不一定是1. ②应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法. ③由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异与联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡. 例题精讲 【例1】用数学归纳法证明对任意，（，）的自然数都成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【难度】★★ 【答案】C 【解析】当时，，，，不等式不成立； 当时，，，，不等式不成立； 当时，，，，不等式成立； 当时，，，，不等式成立， 所以满足题意的的最小值为3．故选：C． 【例2】以下四个命题，其中满足“假设当（，）时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】对于命题C，凸n边形的内角和为， 假设当时命题成立，即，当时，有，故当时命题也成立，当时内角和为，命题成立，故满足条件； 对于命题D，凸n边形的对角线条数， 假设当时命题成立，即， 当时有，故不满足条件．故选：B. 【例3】用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ） A．假设时命题成立 B．假设时命题成立 C．假设时命题成立 D．假设时命题成立 【难度】★★ 【答案】C 【解析】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后， 归纳假设应写成：假设时命题成立．故选：C． 【例4】k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（ ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 【难度】★★★ 【答案】A 【解析】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的， k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面， 而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1，所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1. 故选：A 【例5】用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】B 【解析】当时，左端为 当时，左端为 因为 所以从到左端需要增乘的代数式为，故选：B. 【例6】用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 假设时成立，即成立， 当时， ， 故只需证明“”成立即可． 故答案为：. 【例7】设，用数学归纳法证明． 【难度】★★ 【答案】详见解析. 【解析】当时，左边=，右边=，等式成立； 假设当时，等式成立； 即成立， 则时，左边=， =右边， 所以时，等式成立， 综上：，成立. 【例8】已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【难度】★★★ 【答案】证明见解析. 【解析】证明：当时，两条直线的交点只有1个，又，所以时，命题成立； 假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数， 那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为， 因为任意两条直线不平行，所以直