第2课（B培优）等比数列-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第2课：等比数列 教学目标 1、理解等比数列的概念； 2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项； 3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列； 4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用； 5、会求无穷等比数列前n项和的极限； 6、等比数列综合运用. 重 点 1、理解等比数列的概念； 2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项； 3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列； 4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用； 5、会求无穷等比数列前n项和的极限； 6、等比数列综合运用. 难 点 等比数列综合运用. （一）等比数列及其通项公式 知识梳理 1、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列叫做等比数列，而这个表示每一项与其前一项的比的常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示. 数学语言：或. 注：公比时，数列是常数列. 2、等比中项 根据等比数列的定义，有,从而，即或（同号），在这两种情形下，成等比数列，此时叫做与的等比中项。 【注释】 ①如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方必等于其前后两项的积； ②同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个； ③是与的等比中项，，成等比数列. 3、通项公式 ，为正整数 4、等比数列的判定方法 （1）定义法：（为正整数，是常数）或是等比数列。 （2）中项法：(为正整数)且是等比数列。 （3）通项公式法：是等比数列。 例题精讲 【例1】在等比数列中． （1）已知，，求； （2）在等比数列中，，，则____________． （3），，则____________． （4）等比数列中，，，则公比____________． （5）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为____________． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】解：设等比数列的公比为． ，，，，即， ，化为：，解得，．，， ，，或8． （2）由，，可得：，，解得，． 则．故答案为：128． （3），，，，．， 则．故答案为：． （4）等比数列中，，，则公比．故答案为：2． （5）是正项等比数列，且，，则，即， 解得，（舍去），，故答案为：，． 【例2】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第____________组．（写出所有符合要求的组号） ①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和． 【难度】★★★ 【答案】①④ 【解析】解：（1）由和，可知和．由可得公比，故能确定数列是该数列的“基本量”，故①对； （2）由与，设其公比为，首项为，可得，，， ，； 满足条件的可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列 的基本量，②不对； （3）由与，可得，当为奇数时，可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量． （4）由与由，故数列 能够确定，是数列 的一个基本量； 故答案为：①④． 【例3】已知数列满足，现有如下命题： ①若，成立，则数列为等比数列； ②若，成立，则数列为等比数列； ③若，成立，则数列为等比数列； ④若，成立，若存在正数，使得数列为等比数列， 则数列为等比数列. 其中的真命题有_______________（写出所有真命题的序号）. 【难度】★★★ 【答案】① 【解析】已知数列满足, 若，成立，即，所以数列为等比数列，所以①正确； 考虑数列通项公式，满足，成立，但不是等比数列，所以②不正确； 若，成立，则，数列满足条件，但不是等比数列，所以③不正确； 对于该数列存在正数=1，使得数列为常数列，当然也是为等比数列，但是数列不是等比数列，所以④不正确. 故答案为：① 巩固训练 1、（1）等比数列中，，，，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2）若等比数列满足，则其公比为（ ） A． B． C． D． （3）已知等比数列中，，，则该数列的通项____________． 【难度】★★★ 【答案】见解析 （1）等比数列中，，，，∴， ∴，n−1=3，n=4；.故选：. （2）解：设等比数列公比为，又等比数列满足，.故选：. （3）解：由题得，，∴，. 2、已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（ ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【难度】★★★ 【答案】 【解析】中，三内角依次成等差数列，则，因为， 则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为 等边三角形，故选：. 3、已知数列、都是项