第1课（B培优）等差数列-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第1课：等差数列 教学目标 1、理解等差数列的概念，能结合其定义证明数列是等差数列； 2、掌握等差数列的通项公式和求和公式，能求通项和求和； 3、会利用等差数列的性质简化一些求和求通项问题。 重 点 1、等差数列中函数的思想 2、熟练运用等差数列的通项公式和求和公式。 难 点 1、数列中函数的思想 2、等差数列性质的应用 （一）等差数列及其通项公式 知识梳理 1、等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 2、等差中项: 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 3、等差数列的判定方法: ①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 ②等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列 4、等差数列的通项公式: 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数 5、等差数列的常用性质: ①等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有； ②对于等差数列，若，则； 例题精讲 【例1】（1）在等差数列中，，，则________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】因为， 所以，即， 设等差数列的公差为，又，所以，故，所以。 （2）已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（ ） A．－6 B．6 C．0 D．10 【难度】★★ 【答案】B 【解析】由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列， 而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6. 故选：B. （3）已知，，且，，成等差数列，则有最小值_____ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】因为，，成等差数列，所以，即 所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为， 故答案为：. 【例2】在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 【难度】★★★ 【答案】证明见解析，． 【解析】由题意知是1与的等差中项，可得， 可得，则，可得， 又由，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 可得，解得，即的通项公式． 【例3】已知等差数列为5，8，11，…和等差数列为3，7，11，…各有100项，问同属于数列和的数有几个？ 【难度】★★★ 【答案】25 【解析】由已知得，，则，即． 由n是正整数得k是3的倍数，又，于是， 则，6，9，…，75，∴共有25个正整数同时属于数列和． 【例4】在等差数列中，，则（ ） A．8 B．12 C．16 D．20 【难度】★★ 【答案】B 【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，， 则，所以.故选：B. 巩固训练 1、数列为等差数列，，又已知，，求数列的通项公式． 【答案】或 【解析】由题意可得：， ，即， 因为数列为等差数列，所以，可得，故可设，， 所以，整理可得：， 即，即，解得：或， 当时，， 当时，，，综上所述：或. 2、杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表． 1 2 3 4 5 6 ... 3 5 7 9 11 13 ... 8 12 16 20 24 28 ... ... ... ... ... ... ... 该数表的第一行是数列，第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为__________，各行的第一个数依次构成数列，则该数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】解：因为从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和， 所以第4行的第1个数为20，第2个数为28，第3个数为36，第4个数为44，第5个数为52， 设各行的第一个数依次构成数列，观察可得，等式两边同除得 则数列是公差为，首项为的等差数列，故，整理得 故答案为：52；． 3、等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知,,,,故选：D 4、在四面体中，平面，三内角，A，成等差数列，，，则该四面体的外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】由题意，内角成等差数列，可得， 因为，可得，即，在中，由