第5课（A基础）数列的综合-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第18课：数列的综合 教学目标 掌握数列与其他章节知识点的综合运用 重 点 数列与其他章节知识点的灵活运用 难 点 数列与其他章节知识点的灵活运用 （一）等差与等比数列的综合 知识梳理 一、等差数列、等比数列 ①等差数列通项公式： 等差数列求和公式： ； ②等比数列通项公式： 等比数列求和公式： 例题精讲 【例1】设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ） A．978 B．557 C．467 D．979 【难度】★★ 【答案】A 【解析】设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d. ∵cn=an+bn，,解得，∴cn=2n-1+(1-n). ∴{cn}的前10项和为．故选：A 【例2】设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】由题意可得：，， 所以，故答案为： 【例3】设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，. （1）求和的通项公式： （2）设数列满足，，其中，求数列的前n项和. 【难度】★★★ 【答案】（1）；；（2） 【解析】（1），解得或（舍），所以 ，所以 （2），， 设 巩固训练 1、已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________． 【答案】 【解析】∵，，成等差数列，∴，即，∴， ∴，∴或 (舍)．∴. 故答案为：. 2、在等差数列中，不等式的解集为，则数列的前11项和等于___________. 【答案】-132 【解析】因为不等式的解集为， 故为的两个根，所以， 所以等差数列的前11项和为.故答案为：-132 3、已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项. （1）求数列，的通项公式； （2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）数列是等差数列，设公差为，且，. 则，解得，所以. 又因为，，是等比数列的前3项，则， 由于，代入上式解得. 于是，，，因此等比数列的公比. 故数列的通项公式为. （2）设数列的前20项的和为.因为，， 则. （二）数列与不等式 例题精讲 【例4】已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）. A．8 B．9 C．11 D．10 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】解：由题意可知：，即，即， 又，，即数列是以首项为9，公比为的等比数列， ，即，， ，则，即， 又，满足不等式的最小整数，即.故选：D. 【例5】已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，则. （2）由（1）知，①， 两边同乘得，②， ①-②得，， 故，，取， 当时，恒成立，则恒成立， 即数列从第二项开始是单减的，又，故数列的最大项为， 若恒成立，则. 【例6】已知数列的前n项和为，把满足条件：“对任意的，恒成立”的所有数列构成的集合记为M. （1）若数列的通项为，判断是否属于M，并说明理由； （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）数列的通项为，可得， ，所以，即； （2）设的公差为，因为， 所以， 即，将上式整理可得， 因为上述不等式对一切恒成立，所以即， 又当时，，可得，故，于是，即，所以，即． 巩固训练 1、已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】解：．数列是递增数列，， ． 化为：，对于都成立．．故答案为：． 2、已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】解：（1）设数列的公差为，因为是等差数列，所以，故， 又，，成等比数列，所以，故， 将代入得，即， 又知，故，所以； （2）由（1）知，，故， 所以，即， 故，即对任意恒成立， 而在上单调递增， 故在时单调递增，，所以，故的取值范围为. （三）数列与函数 例题精讲 【例7】设函数，，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】因为数列是单调递减数列， 所以只需且，即且，故实数k的取值范围为．故选：C． 【例8】设数列的前n项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通