第4课（A基础）数学归纳法-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第4课：数学归纳法 教学目标 1、掌握数学归纳法证明的一般步骤； 2、能应用归纳——猜想——论证的解题思路，解决相应的数学问题 重 点 1、数学归纳法证明的一般步骤； 2、数学归纳法证明的应用 难 点 1、数学归纳法证明的一般步骤； 2、数学归纳法证明的应用 （一）数学归纳法 知识梳理 1、 归纳法：由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法； 2、 备注：归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律，这种归纳得到的结论需要证明！ 2、数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时，命题成立； （2）(归纳递推)假设(为正整数)时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 备注：①注意命题中取满足题意中最小的第一个值，不一定是1. ②应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法. ③由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异与联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡. 例题精讲 【例1】用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】B 【解析】因为，故数学归纳法应验证的情况，即.故选：B. 【例2】用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（ ） A． B．， C．， D．， 【难度】★★ 【答案】D 【解析】解：当，，时，显然不等式不成立， 当时，不等式成立， 故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，，故选：. 【例3】用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】由题意，，，所以 . 故选：B. 【例4】用数学归纳法证明不等式： （，），在证明这一步时，需要证明的不等式是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 【解析】当时，那不等式左边的式子中的都换成，得到 ． 【例5】用数学归纳法证明． 【难度】★★ 【答案】证明见解析. 【解析】证明：（1）当时，左边，右边，左边=右边，等式成立. （2）假设当时，等式成立，即， 则当时， ， 即当时，等式成立，由（1）（2）可知，对一切等式成立. 【例6】证明：不等式，恒成立. 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】解：当时，成立 假设时，不等式成立 那么时 ，，， 即时，该不等式也成立 综上：不等式，恒成立. 巩固训练 1、用数学归纳法证明对任意，（，）的自然数都成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当时，，，，不等式不成立； 当时，，，，不等式不成立； 当时，，，，不等式成立； 当时，，，，不等式成立， 所以满足题意的的最小值为3．故选：C． 2、用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________. 【答案】k＋1 【解析】f(k)＝1＋，f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k)＝＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 3、已知关于自然数的命题，由成立可以推出成立，若不成立，则下面结论正确的是（ ） A．一定不成立 B．可能成立 C．一定不成立 D．不一定成立 【答案】C 【解析】解：对不成立，无法判断当时，是否成立，故错误； 假设对成立，则根据推理关系，得对成立，与条件对不成立矛盾，假设不成立，故错误； 同理可得，当时，一定不成立，故错误，正确；故选：． 4、用数学归纳法证明： 【难度】★★ 【答案】证明略 声明：试 （二）数学归纳法的应用 知识梳理 归纳——猜想——论证 “归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一般的规律，先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，然后再去证明所得猜想的结论正确与否”的解题方法． 备注：理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力． 例题精讲 【例7】观察下列式子：，…，由此可以通过归纳，猜想一个成立的等式为________. 【难度】★★★ 【答案