第3课（A基础）数列-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第3课：数列 教学目标 1、理解数列、递增递减数列概念，结合数列单调性解答相关最值项问题； 2、能根据题意找出数列递推关系式，再求数列通项公式，能根据数列递推关系式的特点，选择合适的方法； 3、掌握错位相减法、裂项相消法、分组求和和倒序相加法求数列前项和的方法，会结合通项公式特点判断用什么求和方法； 重 点 1、等差数列、等比数列的求和公式 2、数列中函数的思想 3、错位相减法、裂项相消法、分组求求数列前项和的方法 难 点 数列求通项、数列求和方法的灵活运用 （一）数列的概念 知识梳理 1、 数列及其相关概念 1）定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项 都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，… ，第项，… 注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列 的项可以重复出现。 2）数列的一般形式可以写成：其中是数列的第项，是的序数，上面的数列 可简单记作。 3）函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数 函数与数列的联系与区别 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即递增⇔对任意的都成立．类似地，有递减⇔对任意的都成立. 2、数列的表示方法 解析法、图像法、列举法、递推法. 3、 数列的分类 有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列； 1. 有穷数列:项数有限. 2. 无穷数列：项数无限. 3.递增数列:对于任何,均有；其中严格递增数列为，对于任何,均有； 4.递减数列:对于任何,均有；其中严格递减数列为，对于任何,均有. 5.摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,1, ……. 6.常数数列:对于任何,均有；例如:6,6,6,6,……. 4、数列的通项公式 定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式. 注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，… ；它的通项公式可以是 ，也可以是. 例题精讲 【例1】（1）下列说法正确的是（ ） A．数列，2，5，8可以表示为 B．数列2，4，6，8与8，6，4，2是相同的数列 C．等比数列1，3，，，…的通项公式为 D．1，0，1，0，…是常数列 【难度】★★ 【答案】C 【解析】A错误，数列不能写成集合的形式； B错误，数列中的数是有顺序的，数相同但顺序不同的数列不相同； C正确，归纳递推可得该数列的通项公式为； D错误，此数列为摆动数列，不是常数列. 故选：C。 （2）给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为______；无穷数列为______；严格递增数列为______；严格递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号) 【难度】★★ 【答案】②④ ①③ ② ④ ① ③ 【解析】有穷数列为②④；无穷数列为①③；递严格增数列为②；严格递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③. 故答案为：②④；①③；②；④；①；③ 【例2】设数列中，（且），则（ ） A． B． C．2 D． 【难度】★★ 【答案】A 【解析】由已知得：，可求，∴数列周期为3， ，故选：A． 【例3】已知数列. （1）求这个数列的第10项； （2）是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：数列中的各项都在区间(0，1)内． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）不是，答案见解析；（3）证明见解析． 【解析】设f(n)＝＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝． (2)令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝＝＝1－，又n∈N*， ∴0<<1，∴0<an<1.即数列中的各项都在区间(0，1)内． 巩固训练 1、观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察下列数的特点，，，，，，，，，…，可知：，，，，得．故选：． 2、在数列1，2，，中，是这