第2课（A基础）等比数列-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第2课：等比数列 教学目标 1、理解等比数列的概念； 2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项； 3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列； 4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用； 5、会求无穷等比数列前n项和的极限； 6、等比数列综合运用. 重 点 1、理解等比数列的概念； 2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项； 3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列； 4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用； 5、会求无穷等比数列前n项和的极限； 6、等比数列综合运用. 难 点 等比数列综合运用. （一）等比数列及其通项公式 知识梳理 1、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列叫做等比数列，而这个表示每一项与其前一项的比的常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示. 数学语言：或. 注：公比时，数列是常数列. 2、等比中项 根据等比数列的定义，有,从而，即或（同号），在这两种情形下，成等比数列，此时叫做与的等比中项。 【注释】 ①如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方必等于其前后两项的积； ②同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个； ③是与的等比中项，，成等比数列. 3、通项公式 ，为正整数 4、等比数列的判定方法 （1）定义法：（为正整数，是常数）或是等比数列。 （2）中项法：(为正整数)且是等比数列。 （3）通项公式法：是等比数列。 例题精讲 【例1】有下列4个说法： ①等比数列的某一项可以为0； ②等比数列的公比取值范围是； ③若，则，，成等比数列； ④若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1． 其中正确说法的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：等比数列的每一项不能为0，故①错误； 等比数列的公比，故②错误； 若，取，满足条件，则，，不成等比数列，故③错误； ④若一个常数列是等比数列，则，故这个数列的公比是1，④正确；故选：． 【例2】如果，，，，成等比数列，那么　　 A．， B．， C．， D．， 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：，，，，成等比数列，设公比为，则，． ，，故选：． 【例3】在等比数列中． （1）已知，，求； （2）在等比数列中，，，则____________． （3），，则____________． （4）等比数列中，，，则公比____________． （5）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为____________． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】解：设等比数列的公比为． ，，，，即， ，化为：，解得，．，， ，，或8． （2）由，，可得：，，解得，． 则．故答案为：128． （3），，，，．， 则．故答案为：． （4）等比数列中，，，则公比．故答案为：2． （5）是正项等比数列，且，，则，即， 解得，（舍去），，故答案为：，． 【例4】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第____________组．（写出所有符合要求的组号） ①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和． 【难度】★★★ 【答案】①④ 【解析】解：（1）由和，可知和．由可得公比，故能确定数列是该数列的“基本量”，故①对； （2）由与，设其公比为，首项为，可得，，， ，； 满足条件的可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列 的基本量，②不对； （3）由与，可得，当为奇数时，可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量． （4）由与由，故数列 能够确定，是数列 的一个基本量； 故答案为：①④． 【例5】已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列． （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】解：（1），故是以3为公比的等比数列； （2），故是以8为公比的等比数列； （3）故是以为公比的等比数列； （4）该数列不是等比数列． 【例6】已知数列、都是项数相同的等比数列，判断下列数列是等比数列是____________． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【难度】★★★ 【答案】①②③⑦⑧⑩ 【解析】解：设数列、的公比分别为，， 则①当时，为常数，故数列为等比数列； ②当时，为常数，故为等比数列； ③当时，为常数，故数列为等比数列； ④若，则不是等比数列，若，则是等比数列； ⑤当时，数列不是等比数列； ⑥若，满足数列是等比数列，但．则数列不一定是等比数列； ⑦是公比为的等比数列， ⑧是公比的等比数列； ⑨不是