第1课（A基础）等差数列-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第1课：等差数列 教学目标 1、理解等差数列的概念，能结合其定义证明数列是等差数列； 2、掌握等差数列的通项公式和求和公式，能求通项和求和； 3、会利用等差数列的性质简化一些求和求通项问题。 重 点 1、等差数列中函数的思想 2、熟练运用等差数列的通项公式和求和公式。 难 点 1、数列中函数的思想 2、等差数列性质的应用 （一）等差数列及其通项公式 知识梳理 1、等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 2、等差中项: 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 3、等差数列的判定方法: ①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 ②等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列 4、等差数列的通项公式: 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数 5、等差数列的常用性质: ①等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有； ②对于等差数列，若，则； 例题精讲 【例1】（1）在等差数列中，，，则________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】因为， 所以，即， 设等差数列的公差为，又，所以，故，所以。 （2）数列满足，且，，则 。 【难度】★★ 【答案】 【解析】数列满足，则数列为等差数列， ，，，，， 。 【例2】在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 【难度】★★★ 【答案】证明见解析，． 【解析】由题意知是1与的等差中项，可得， 可得，则，可得，又由，可得， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，可得，解得， 即的通项公式． 【例3】已知数列满足，则＝ 。 【难度】★★★ 【答案】 【解析】因为an+1,两边同时取倒数可得,，即, 所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以, 所以,即。 【例4】（1）在等差数列中，若，则______。 【难度】★★ 【答案】180 【解析】是等差数列，由等差数列性质得 又，，；。 （2）若一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列项数； 【难度】★★★ 【答案】13 【解析】 , 巩固训练 1、在等差数列中，已知，，若时，则项数等于________。 【答案】99 【解析】在等差数列中，，，， 当时，则，解得。 2、在等差数列中，，则（ ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，， 则，所以.故选：B. 3、已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则 ，所以数列是等差数列. 若数列是等差数列，设其公差为，则， 不能推出数列是等差数列.所以“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A。 4、数列中，，且数列是等差数列，则等于（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】解：∵数列{an}中，a2＝3，a5＝1，且数列是等差数列， ∴数列的公差 ∴，解得．故选：A． 5、等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知,,,,故选：D （二）等差数列的前n项和 知识梳理 1、前项的和与通项的关系： 这个公式在求通项公式和证明时经常用到． 2、等差数列的前n项和: ① ② 对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数 3、若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列 例题精讲 【例5】（1）已知等差数列中，，前10项的和等于前5项的和，若，则（ ） A．10 B．9 C．8 D．2 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】设等差数列公差为,则由题意可知,代入有,解得.又,即,解得. 故选：B （2）已知为等差数列的前项和，若，则___________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】由，得，所以. 故答案为：. 【例6】设是等差数列的前n项和，已知，，，则n等于（ ）. A．15 B．16 C．17 D．18 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】因为后6项的和等于，因此 因为，所以。 【例7】等差数列中,,,则________。 【难度】★★ 【答案】30