专题02 全等三角形-2021-2022学年八年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（人教版）

全等三角形 1．如图所示，在ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交CD的延长线于点F，BE⊥CD于点E．求证：EF=CF-AF． 【答案】见解析 【分析】 根据余角的性质可得到∠FCA＝∠EBC，已知∠BEC＝∠CFA＝90°，AC＝BC，从而可以利用AAS判定△BEC≌△CFA，根据全等三角形的性质可得到CE＝AF，从而不难求证等式EF＝CF−AF． 【详解】 证明： （1）∵AC⊥BC，AF⊥FC， ∴∠ACB=90， ∠AFC=90， ∴∠ACF+∠BCF=90， ∵BE⊥FC， ∴∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠BCE=90 ， ∴∠ACF=∠CBE， 在△AFC和△CEB中： ， ∴△AFC≌△CEB (AAS) ， ∴CE=AF， ∵EF=CF-CE， ∴EF=CF-AF． 【点睛】 此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的综合运用，解题关键是要牢固掌握并灵活运用这些知识． 2．如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）求证：BE=DE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）证明△ABC≌△ADC得到∠BAC＝∠DAC即可； （2）证明△BAE≌△DAE，进而即可得到结论． 【详解】 证明：（1）在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， 即AC平分∠BAD； （2）由（1）∠BAE＝∠DAE， 在△BAE与△DAE中， ， ∴△BAE≌△DAE（SAS） ∴BE=DE． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 3．如图，已知AC和BD相交于点O，OA=OB，OC=OD，求证：ABC≌BAD． 【答案】见解析 【分析】 先证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形的性质证明△ABC≌△BAD即可． 【详解】 证明： 在△AOD和△BOC中： ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴ AD=BC，∠3=∠4． ∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD， 在△ABC和△BAD中： ， ∴△ABC≌△BAD (SAS)． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 4．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方向，海岛C在观测点A的正北方向，海岛D在观测点B的正北方向，如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C到观测点A与海岛D到观测点B所在海岸的距离相等，为什么？ 【答案】见解析 【分析】 由已知易得∠ABC=∠BAD，从而由ASA 可以判定△CBA≌△DAB，从而可得AC=BD． 【详解】 理由如下： 依题意，得∠CAD=∠CBD，∠CAB=∠DBA=90， ∴∠ABC=∠BAD， 在△CBA和△DAB中， ∴△CBA≌△DAB（ASA）， ∴CA=DB， ∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是把实际问题转化为数学问题，用数学方法来解决实际问题． 5．在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．” （1）请你也独立完成这道题； （2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． 【答案】（1）见解析；（2）AD+BE＝DE．理由见解析 【分析】 （1）根据题意可得∠CDA＝∠BEC＝90°，从而∠DCA+∠DAC＝90°，又有∠BCA＝90°，可得∠DCA+∠ECB＝90°，从而得到∠DAC＝∠ECB，可证得△ADC≌△CEB，即可求证； （2）根据题意可得∠CDA＝∠BEC＝90°，从而∠EBC+∠BCE＝90°．进而得到∠EBC＝∠DCA．从而得到△CEB≌△ADC，即可求证． 【详解】 解：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠CDA＝∠BEC＝90°， ∴∠DCA+∠DAC＝90°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠DCA+∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE， ∵AD＝2.5cm，DE＝1.7cm， ∴BE＝AD﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）； （2）结论：AD+BE＝DE．理由如下： ∵BE⊥C