专题08 函数应用（知识点串讲）-2021-2022学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题08 函数应用（知识点串讲） 知识点一 二分法与求方程近似解 （一）方程的根与函数的零点 1.函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2.函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 3.函数零点的求法： （1）（代数法）求方程 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4.基本初等函数的零点： （1）正比例函数 仅有一个零点。 （2）反比例函数 没有零点。 （3）一次函数 仅有一个零点。 （4）二次函数 ． ①△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点． ②△＝0，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ③△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点． （5）指数函数 没有零点。 （6）对数函数 仅有一个零点1. （7）幂函数 ，当 时，仅有一个零点0，当 时，没有零点。 5.非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把 转化成 ，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数 零点的个数。 6.选择题判断区间 上是否含有零点，只需满足 。 7.确定零点在某区间 个数是唯一的条件是: （1） 在区间上连续，且 ； （2）在区间 上单调。 8.函数零点的性质： （1）从“数”的角度看：即是使 的实数； （2）从“形”的角度看：即是函数 的图象与 轴交点的横坐标； （3）若函数 的图象在 处与 轴相切，则零点 通常称为不变号零点；若函数 的图象在 处与 轴相交，则零点 通常称为变号零点． （二）用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.给定精确度ε，用二分法求函数 零点近似值的步骤： （1）确定区间 ， ，验证 EMBED Equation.3 ，给定精度 ； （2）求区间 ， 的中点 ； （3）计算 ： ①若 = ，则 就是函数的零点； ②若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 < ，则令 = （此时零点 ）； ③若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 < ，则令 = （此时零点 ）； （4）判断是否达到精度 ；即若 ，则得到零点值 （或 ）；否则重复步骤（2）~（4）． 3.二分法的条件 · EMBED Equation.3 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 典例1：求函数零点或方程根的个数 （2021·北京八中高一期中）已知函数 满足：①定义域为R；②对任意 ，有 ；③当 时， .则方程 在区间 内解的个数是（ ） A．18 B．12 C．11 D．10 变式练习：（2021·四川·德阳五中高一月考）已知 ，关于 的方程 的实根个数不可能为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 典例2：判断零点所在的区间 （2021·四川省广安代市中学校高一月考）关于 的方程 的实数解为 ，则 所在的区间是（ ） A． B． C． D． 变式练习：（2021·宁夏·六盘山高级中学高一期中）函数 的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 典例3：求函数的零点 （2021·江苏·海安高级中学高一月考）二次函数 的零点是（ ） A． ， B． ，1 C． ， D． ， 变式练习：（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在 上的函数 ，其中 表示不超过 的最大整数， ，给出下列四种说法： ① ，使得 是一个增函数； ② ，使得 是一个奇函数； ③ ，使得 在区间 上有唯一零点. 其中，正确的说法个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 典例4：函数零点中的参数问题 （2021·江苏·南京外国语学校高一期中）二次函数 的两个零点都在区间 内，则m的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 变式练习：（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中）已知 ，若方程 有三个不同的实根，则实数a的范围是（ ） A． B． C． D． 典例5：零点存在性定理的应用 对于定义在R上的函数 ，若 ，则函数 在（m，n）上（ ） A．只有一个零点 B．至少有一个零点 C．无零点 D．无法确定有无零点 变式练习：（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期中）函数