专题06 幂函数、指数函数和对数函数（知识点串讲）-2021-2022学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题06 幂函数、指数函数和对数函数 （知识点串讲） 知识点一 幂函数 1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像及性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减 3. 幂值的大小比较 （1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较. （2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小. （3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的. 4.幂函数性质的应用 利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。 典例1：幂函数的单调性问题 （2021·福建宁德·高一期中）已知函数 是幂函数，且 时， 单调递增，则 的值为（ ） A．1 B．-1 C．2或-1 D．2 变式练习：（2021·福建福州·高一期中）有四个幂函数：① ；② ；③ ；④ ；某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数：（2）值域是 且 ；（3）在 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 典例2：求幂函数的值域 （2021·河北师范大学附属中学高一期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的是（ ） A． 是偶函数 B． 在定义域上是单调递增函数 C． 的值域为 D． 在定义域内有最大值 变式练习：（2021·天津·南开翔宇学校高一期中）若函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ） A．1 B． C．0 D．2 典例3：幂函数的图像判断与应用 （2021·四川·绵阳中学实验学校高一期中）如图是幂函数 的部分图象，已知 取 ， ， ， 这四个值，则与曲线 ， ， ， 相对应的 依次为（ ） A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ， . 变式练习：（2021·江西·模拟预测）函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 典例4：幂函数过定点问题 （2021·浙江浙江·高一期末）以下结论正确的是（ ） A．当 时，函数 的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过 、 两点 C．若幂函数 的图象关于原点对称，则 在定义域内 随 的增大而增大 D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 变式练习：以下命题正确的是（ ） ①幂函数的图像都经过 ②幂函数的图像不可能出现在第四象限 ③当 时，函数 的图像是两条射线（不含端点） ④ 是奇函数，且 在定义域内为减函数 A．①② B．②④ C．②③ D．①③ 典例5：幂函数中的参数问题 （2021·福建·漳州三中高一期中）已知函数 是幂函数，且在 上递增，则实数 （ ） A．2 B． C．4 D．2或 变式练习：（2021·山西运城·高一期中）已知幂函数 在 上是增函数，则实数 的值为（ ） A．1或 B．3 C． D． 或3 知识点二 指数函数 1．指数函数定义： 一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中 是自变量， 叫底数，函数定义域是 ． 2．指数函数 在底数 及 这两种情况下的图象和性质： 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）过定点 ，即 时 （4）在 上是增函数 （4）在 上是减函数 3.与指数函数相关的定义域及值域问题 （1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式. （2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。 4.指数式的大小比较 （1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较 （2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较. （3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较. 典例6：指数函数的定义域问题 （2021·四川·射洪中学高一期中）下列四组