11 等差数列与等比数列-2022届高三数学新高考大一轮核心速学（艺体生新教材考区可使用）

核心速学11 数列 【核心考点整合】 【思维导引】 【重要提醒】 1.处理等差数列基本量的常用策略 (1)等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)． (2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断． ①通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列． ②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列． (3)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行． (4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题． 2.等差数列性质相关的重要结论 (1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0时，an是n的一次函数．当d>0时，{an}为递增数列，当d<0时，{an}为递减数列，当d＝0时，{an}为常数列． (2)等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n.d≠0时，Sn是n的二次函数，且常数项为零．据此特点可判断{an}是否为等差数列．同时，可用配方法或图象法求Sn的最值问题．d＝0时，Sn为n的一次函数． (3)等差数列的单调性 等差数列公差为d，若d>0，则数列递增． 若d<0，则数列递减． 若d＝0，则数列为常数列． (4)等差数列的简单性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. ②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d. ④S2n－1＝(2n－1)an. ⑤若n为偶数，则S偶－S奇＝d. 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． ⑥数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列． 公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值． 3.解决等比数列问题的重要方法 (1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用． (2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式q是否等于1的判断和讨论． (3)等比数列的判定方法： ①定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列． ②中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． ③通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． ④前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可． 4.等比数列相关的重要结论 (1)等比数列的单调性． ①或{an}为递增数列； ②或{an}为递减数列； ③q＝1{an}为非零常数列； ④q<0{an}为摆动数列． （2）等比数列的常用性质 ①通项公式的推广：，(n，m∈N*)． ②若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则. ③若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{an·bn}，{}仍是等比数列． ④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.即项数成等差数列则对应项成等比． (3)等比数列其他性质． ①若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，{}也是等比数列，若{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列． ②数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍成等比数列． ③若等比数列{an}的项数为2n，则＝q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和． ④＝qn－m(m，n∈N*) （4）等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前