7 三角函数与三角恒等变换-2022届高三数学新高考大一轮核心速学（艺体生新教材考区可使用）

核心速学6 三角函数与三角恒等变换 【核心考点整合】 【思维导引】 【特别提醒】 1.同角三角关系及诱导公式的应用 （1）同角三角函数解题时常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。需注意的是:①这是一组同角关系式,②利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,③计算中应尽可能少用平方关系式. （2） “、”的应用 与通过平方关系联系到一起，即， 即（根据判断正负）；因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. （3）应用同角关系式的技巧:①"1"的代换:1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝…. ②整体代换:为了计算或化简需要可将计 ③弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”的表达式，进行求值. 如的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解； 的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形． (4)温馨提示： ①求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。 ②利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。 的求值技巧：当已知，时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有或，这两个公式中的其中一个平方后即可求出，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出的值．或者把、与联立，通过解方程组的方法也可以求出的值． ③常用结论：； ④常见的互余关系有：与；与；与等. ⑤常见的互补关系有： 与;与等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2.三角恒等变换的常用结论： ①tan α±tan β＝； ②cos2α＝，sin2α＝； ③1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， . ④拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝－；＝. 3.三角恒等变形中的题型与求解原则 （1）利用公式化简三角函数的原则和要求 原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少. 要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值. （2）证明三角恒等式的主要思路 ①由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简. ②左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. ③转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明. 4.函数图像变换的注意问题 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。研究类似于的性质时，一般是通过整体代换的方法，将其化归成的形式．这样就可通过的性质来研究的性质．对于和用同样的方法来处理，在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由的图象得到)的图象时，需平移的单位数应为而不是. 5.三角函数性质的求解方法 (1)三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解． (2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期． [易错提示]　(1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x的范围对最值的影响，往往结合图象求解． (2)求函数的单调区间时，要特别注意的正负,只有当时，才可整体代入并求其解，当时，需把的符号化为正值后求解． 正弦函数，余弦函数，正切函数的图象与性质 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数；在 上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形. 6.求函数解析式的方法 6.1 由的图象求其函数式： 已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 由的图象求其函数式，确定的解析式的步骤