4 函数的奇偶性与周期性-2022届高三数学新高考大一轮核心速学（艺体生新教材考区可使用）

核心速学4 函数的奇偶性与周期性 【核心考点整合】 【思维导引】 【特别提醒】1.判断函数奇偶性的方法 （1）定义法： （2）转化法：在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或 (偶函数))是否成立． （3）图像法：若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数． （4）赋值配凑法：抽象函数奇偶性的判断方法： (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出与的关系，得出结论． 2.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数在处有定义，则. 3.求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 4．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 5.与对称相关的常用结论：（1）函数图像关于轴对称． （2）函数图像关于中心对称． （3）函数图像关于轴对称，关于中心对称． 【真题领航】 1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：， 而，故.故选：C. 2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是奇函数， 时，． 当时，，，得．故选D． 5.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 【核心考能聚焦】 核心考点一 函数的奇偶性 【例1】（1）（2021·海淀·北京市八一中学高三开学考试）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确， 对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误， 对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误， 对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误， 故选：A （2）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= . 【答案】-2 【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以 ，所以，即，，所以. 【对点练】1.（2021·黑龙江哈尔滨三中高三月考（理））已知奇函数在上是增函数，又，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】 ∵在上是增函数，且为奇函数， ∴在上是增函数，又，即， ∴要使，则或， ∴的解集为或. 故选：B 2.偶函数在区间上单调递减，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于函数为偶函数，故，因此，，由于函数在区间上单调递减，且，所以，即，故选C. 核心考点二 函数的周期性 【例2】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ） （A）−2 （B）−1