5.3.5 随机事件的独立性-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第五章 统计与概率 5.3概率 5.3.5 随机事件的独立性 知识梳理 1.随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立）， 事件A与B相互独立的直观理解是：事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2.独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，，; （2）若两两独立，则 常见考点 考点一 独立事件的判断 典例1．在一次试验中，随机事件A，B满足，则（ ） A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥 C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立 【答案】B 【分析】 根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可 【详解】 若事件A，B为互斥事件，则，与矛盾，所以， 所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误， 由题意无法判断是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误， 故选：B 变式1-1．若，，，则事件与的关系是（ ） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．无法判断 【答案】B 【分析】 利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】 解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立， 又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥. 故选：B 变式1-2（多选）．若，，，则事件与的关系错误是（ ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立 【答案】ABD 【分析】 计算得出，由此可得出结论. 【详解】 由题意可得，因为，，所以，， 故事件与相互独立. 故选：ABD. 变式1-3（多选）．连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件B为对立事件 B．事件A与事件B相互独立 C．事件C与事件D是互斥事件 D．事件C与事件D相互独立 【答案】BC 【分析】 根据相互独立事件、互斥事件、对立事件的定义判断可得； 【详解】 解：由题意可知事件A与事件B相互独立，则A错误，B正确；事件C与事件D是互斥事件，但不是对立事件，则C正确；D错误． 故选：BC 考点二 独立事件的乘法公式 典例2．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为，那么两人中恰有一人通过的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过. 【详解】 由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为. 故选：D. 变式2-1．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为（ ） A．0.7 B．0.58 C．0.12 D．0.46 【答案】B 【分析】 先计算都没有命中的概率，再由对立事件求解即可. 【详解】 两个人各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3， 所以都没有命中的概率为， 所以至少有一人命中的概率为. 故选：B. 变式2-2．高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为__________. 【答案】 【分析】 事件“至少得1个A”的对立事件是“1个A都没得”，因此根据独立事件的乘法公式求出这位考生1个A没得的概率，进而可求出结果. 【详解】 这位考生1个A没得的概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为， 故答案为：. 变式2-3．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________. 【答案】 【分析】 考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率. 【详解】 两个都不命中的概率为， 故至少有一人命中的概率是， 故答案为：. 巩固练习 练习一 独立事件的判断 1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件