5.3.2 事件之间的关系与运算-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第五章 统计与概率 5.3概率 5.3.2 事件之间的关系与运算 知识梳理 一．事件的包含与相等 1．一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A），记作（或）， 注：（1）也可用充分必要条件表示为：A发生是B发生的充分条件，B发生时A发生的必要条件. （2）如果，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们可以得到 2．如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作 注：（1）不难看出：且，也可以用充分必要条件的语言表述为：A发生是B发生的充要条件 （2）当时，有 二．事件的和（并） 1.给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作（或） 注：（1）当事件发生时，当且仅当事件A与事件B至少有一个发生 （2）由于且，因此且 直观上可知， 三．事件的积（交） 1.给定事件，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作（或） 注：（1）按照定义可知，事件发生，当且仅当时间A与时间B都发生 （2）由于且，因此且 四．事件的互斥与对立 1.给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作（或） 注：（1）任何两个基本事件都是互斥的，与任意事件互斥； （2）当A与B互斥，即，有=，这称为互斥事件的概率加法公式. （3）一般地，如果是两两互斥事件，则 2.给定样本空间与事件A，则由与所有不属于A的样本点组成是事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点看，是A在中的补集，如图所示.如果，则称A与B相互对立. 注：（1）事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生，注意到必然事件的概率为1，因此1 （2）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件. 五．事件的混合运算 前面我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算. 例如 ，这表示与和， 实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生. 同数的加、减、乘、除一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此可简写为： 常见考点 考点一 事件的包含关系与事件的运算及其含义 典例1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E. （1）试判断事件A与事件B，C，E的关系； （2）试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系. 【答案】 （1）BA，CA，EA，A=B+C+E （2）AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C 【分析】 （1）写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）写出事件D所包含的基本事件，与事件A进行比较，得到AD所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点，可得到AD与B+C的关系. （1） 事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以BA，CA，EA，A=B+C+E （2） “至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C 变式1-1．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”. 求：（1）A∩B，BC； （2）AB，B+C； （3）记为事件H的对立事件，求. 【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}. 【分析】 （1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生； （2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生； （3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生. 【详解】 ∵，，，， ∴，，， ∴（1）A∩B=，BC={2}； （2）AB={1，2，3，4，5，6}