5.1.2 数据的数字特征-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第五章 统计与概率 5.1统计 5.1.2数据的数字特征 知识梳理 一．最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况，一般地，最大值用max表示，最小值用min表示. 二．平均数 如果给定的一组数是，则这组数的平均数为： 这一公式在数学中常简记为： 注：（1）其中的符号表示求和，读作“西格玛“，右边式子中的i表示求和的范围，其最小值和最大值分别写在的下面和上面. （2）求和符号具有以下性质： ①②③ （3）平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值.很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均数. （4）一般地，利用平均数地计算公式可知，如果的平均数为，且为常数，则的平均数为 三.中位数、百分位数 1.一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置： （1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为，则称为这组数的中位数； （2）如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为，则称为这组数的中位数. 2.一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值. 注：（1）直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数，例如中位数就是一个分位数. （2）按照定义可知，分位数可能不唯一 （3）设一组数按照从小到大排列后为，计算的值，如果不是整数，设为大于的最小整数，取为分位数：如果是整数，取为分位数.特别的，规定：0分位数是（是最小值），100分位数是（即最大值）. （4）实际应用中，除了中位数外，经常使用的是分位数（简称为第一四分位数）与分位数（简称为第三四分位数） 四.众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，重复出现的次数最多的数据称为这组数据的众数. 五.极差、方差、标准差 1.极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减最小值，不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度. 描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差. 2.方差：如果的平均数为，则方差可用求和符号表示为： 注：如果a，b为常数，则：的方差为. 3.标准差：方差的算术平方根称为标准差； 注：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表面数据没有波动，数据没有离散；若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差越大，表明数据的波动幅度越大，数据的离散程度较高，因此标准差描述了数据相对平均数的离散程度. 常见考点 考点一 平均数、中位数、众数 典例1．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】D 【分析】 根据平均数的求法，所有数据的和除以总个数即可，中位数求法是从大到小排列后，最中间一个或两数的平均数，众数是在一组数据中出现次数最多的即是众数，根据以上方法可以确定出众数与中位数． 【详解】 解：从小到大排列此数据为：11、13、15、15、16、16、17、18、18、18． 平均数为 中位数为是最中间两数的平均数，即； 众数为，即． 故选：D． 【点睛】 本题属于基础题，考查了确定一组数据的平均数、中位数和众数的能力．要明确定义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 变式1-1．如果五个数的平均数是7，那么这五个数的平均数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 试题分析：利用平均数计算，或利用结论：样本x1，x2，…xn的平均数为7， ∴样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数=7+1=8，故选D． 考点：本题主要考查平均数的意义及其计算． 点评：基本题型，注意掌握平均数计算公式．在此基础上推出一般结论更好． 变式1-2．下表记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ） 甲组 56 65 65 74 x 乙组 59 61 67 y 78 A．70，65 B．75，65 C．73，67 D．75，67 【答案】A 【分析】 对甲、乙两组数进行从小到大排列，同时注意甲组数据中位数的特点，再逐步求出x，y的值. 【详解】 甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得 又甲、乙两组数据的平均值相等， 所以， 解得. 故选：A 变式1-3．下面表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数