必考点10 正多边形与圆及圆的相关计算-【对点变式题】2021-2022学年九年级数学上学期期中期末必考题精准练（北师大版）

必考点10 正多边形与圆及圆的相关计算 题型1 正多边形有关计算 【例1】（2021·贵州贵阳·初三零模）正三角形的边心距、半径和高的比是( ) A．1:2:3 B．1:: C．1::3 D．1:2: 【答案】A 【分析】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径，根据正三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质进行推导即可得. 【详解】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径， ∴∠BAD=30°， 又∵AO=BO，∴∠ABO=∠BAD=30°，∴∠OBD=60°-30°=30°， 在Rt△OBD中，BO=2DO，即AO=2DO，∴OD：OA：AD=1：2：3．故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，正三角形的中心，含30度角的直角三角形等知识，根据题意画出图形，结合图形应用相关知识进行解答是关键. 题型2 弧长、扇形面积计算 一、弧长有关计算 【例2】（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）已知扇形的面积为12πcm2，半径为6cm，则该扇形的圆心角是_____度． 【答案】120 【分析】设扇形圆心角的度数为n，由扇形的面积公式列方程即可求出圆心角． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为n， ∵扇形的面积为12πcm2，，∴，∴n＝120°故答案为：120． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．扇形的面积公式为． 二、扇形面积有关计算 【例3】（2021·福建省福州第一中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1）B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）将△ABC绕着点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，则A1坐标为 　 　，并在图中画出△A1B1C；（2）求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）． 【答案】（1）（2,4），图见解析；（2）． 【分析】（1）分别作出三个顶点绕着点C按逆时针方向旋转90°得到的对应点，顺次连接可得； （2）先利用勾股定理求出线段BC，再根据扇形的面积计算公式进行计算即可． 【详解】解：（1）如图所示：点A1坐标为（2,4），△A1B1C即为所求； 故答案为：（2,4）； （2）∵A（﹣1，1）B（﹣3，1），C（﹣1，4），∴AC=3，AB=2，且AC⊥AB， 由勾股定理得BC=， ∴线段BC旋转过程中所扫过的面积为：． 【点睛】本题主要考查旋转变换和扇形面积计算问题，熟练掌握旋转变换的定义和扇形面积计算公式是解题的关键． 题型3 圆锥侧面积有关计算 【例4】（2021·云南·昆明市第三中学九年级期中）把一个有两边长为3、4的直角三角形，绕其较短的直角边旋转后得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分两直角边分别为3、4和4为斜边，3为直角边两种情况，求出圆锥母线，再计算侧面积． 【详解】解：∵直角三角形两边长分别为3、4，当两直角边分别为3、4时， 则旋转得到的圆锥中底面半径为4，高为3，∴圆锥母线长为=5，∴侧面积为：=； 当4为斜边，3为直角边时，另一条直角边为=，则旋转得到的圆锥中底面半径为3，高为， ∴圆锥母线长为4，∴侧面积为：=；故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，旋转得到几何体，要注意根据题意分类讨论． 题型4 不规则图形面积 【例5】（2020黑龙江省大庆市）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为______________． 【答案】． 【解析】设圆弧的圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，则OF=x﹣5，由勾股定理得，，即，解得，x=5，则∠BOF=60°，∠BOC=120°，则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积） ==．故答案为：． 题型5 最短距离 【例6】（2020·广东·东莞外国语学校九年级期中）如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） 【答案】6 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为，∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．∴，解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6，∴AA′＝．故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何