第23讲 扇形的面积-【A+课堂】2021-2022学年六年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第23讲 扇形的面积 知识一、扇形的面积 1、扇形 如图，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形.图中的扇形记作扇形OAB,圆心角也叫做扇形的圆心角. 在同一个圆中，弧的长短，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关. 2、扇形的面积公式 扇形面积：所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n：360.也就是说，扇形面积是所在圆面积的,于是 推得扇形的面积公式 公式一： 公式在应用时可变形为，即扇形面积与它所在的圆面积之比等于它的圆心角与周角的比. 公式二： 扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式. 题型探究 题型一、求扇形面积 【例1-1】在圆心角为120°的扇形AOB中，半径，则扇形AOB的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据扇形面积的计算公式，代入相关数值进行计算即可． 【详解】 解： ()， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了扇形的面积计算，关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 【例1-2】草坪上有一个洒水龙头，它最远洒水至30米处，可以作150°的旋转，那么可以被这个龙头洒到水的草坪的面积是（ ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】 直接根据扇形面积：即可求解． 【详解】 解：平方米． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查扇形的面积，正确理解扇形面积与所在圆的面积关系是解题关键． 【例1-3】如图所示，扇形的半径是2厘米，周长是15.7厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？ 【答案】扇形的面积是11.7平方厘米 【分析】 用给的扇形周长减去两个半径，求弧长，这段弧长占圆周的比，用这个比值乘圆的面积来求即可． 【详解】 扇形的弧长=15.7-4=11.7厘米，圆的周长=2×3.14×2=12.56厘米, 扇形面积===（平方厘米）． 答：扇形的面积是11.7平方厘米． 【点睛】 本题考查已知弧长求面积的方法，关键求出扇形和弧长与圆周长的比例，确定扇形面积占圆面积的比例． 【例1-4】如图，某数学兴趣小组将边长5的的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），求所得的扇形ABD面积． 【答案】25 【分析】 求BCD弧长，求BCD弧占圆的比，再求面积即可． 【详解】 扇形BCD弧长=2×5=10， ∴扇形BCD弧长：圆周长=10:（10×3.14）=1:3.14， ∴扇形BCD的面积=． 【点睛】 本题考查周长相等的正方形变形为扇形的面积问题，抓住扇形的弧长与圆周长的比是关键． 题型二、阴影部分面积 【例2-1】求图中阴影部分的周长和面积（结果保留） （1） （2） 【答案】（1）周长：；面积为：；（2）周长为：；面积为：． 【分析】 （1）阴影部分周长为以15为半径，270°为圆心角的扇形弧长与两条半径的和，周长为以15为半径，270°为圆心角的扇形面积； （2）阴影部分周长为以4为半径，90°为圆心角的弧长+以6为半径，90°为圆心角的弧长+10+（6-4），面积为长为10，宽为6的矩形面积-以4为半径，90°为圆心角的扇形面积-以6为半径，90°为圆心角的扇形面积，据此列式计算求解即可． 【详解】 解：（1）周长：； 面积为：． （2）周长为：； 面积为：． 【点睛】 本题考查扇形周长与面积的计算，正确分析图形，找到各部分之间的数量关系正确计算是解题关键． 【例2-2】如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图形（阴影部分）的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由正方形面积减去两个半圆面积可得两个空白面积，再将正方形面积将去4个空白面积即得阴影部分面积． 【详解】 解：则，， 由题意得：图中阴影部分的面积， 故选：． 【点睛】 该题主要考查了正方形的面积、圆的面积公式；解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差． 【例2-3】如图，在等腰直角三角形ABC中，，，分别以A、B、C为圆心，以为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积为．（结果保留） 【答案】 【分析】 根据图形可知阴影部分的面积等于△ABC的面积减去三个扇形的面积，而三个扇形的半径都相等，且圆心角的度数和正好是△ABC的内角和，因此三个扇形组合起来是个半圆，由此可求出阴影部分的面积． 【详解】 解：由题意得，三个扇形组合起来是个半圆，半径为， =． 故答案为． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理及三角形的面积．熟练掌握各个知识点是解题的关键． 题型三、n、r、l、s 【例3-1】扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（ ） A．面积扩大为原来的4倍 B．面积