专题08 锐角三角函数的实际应用-备战2022年中考数学母题题源解密（河南专用）

专题08 锐角三角函数的实际应用 【母题来源】2021年河南中考数学卷 【母题题文】开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 与佛像 的底部 在同一水平线上．已知佛像头部 为 ，在 处测得佛像头顶部 的仰角为 ，头底部 的仰角为 ，求佛像 的高度（结果精确到 ．参考数据： ， ， ） 【答案】17.4m 【试题解析】 【分析】 先设出佛像 的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可． 【详解】 解：设佛像 的高度为xm， ∵∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=x， ∵佛像头部 为 ， ∴CD=x-4， ∵∠DAC=37.5°， ∴tan∠DAC= = ≈0.77， 解得：x≈17.4， 经检验，该方程有意义，且符合题意， 因此x≈17.4是该方程的解， ∴求佛像 的高度约为17.4m． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 【命题意图】锐角三角函数实际应用主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题。 【命题方向】锐角三角函数实际应用常考的类型有：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等。锐角三角函数实际应用通常以解答题来考查。 【得分要点】 特殊角的三角函数值 三角函数 定义 30° 45° 60° sin cos tan 仰角和俯角的定义 坡比的定义 坡比= =tanα 锐角三角函数实际应用常用到的辅助线：作垂线 、连结线段、作平行线和延长直线等 1.（2021年河南省安阳市安阳县中考数学适应性试题）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： （1）坡顶A到地面PQ的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01） 2.（2021年河南省焦作市武陟县九年级数学第二次模拟考试）焦作广播电视塔由塔下裙房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成，它集“雄、险、奇、秀”于一身．某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度．如图所示，小航在 处用无人机在距地面151米的 处测得电视塔最高点 的仰角为22°，然后沿 方向前进50米到达 处，用无人机在距地面70米的 处测得点 的仰角为45°．求 的距离和电视塔 的高度．（结果精确到1m．参考数据： ， ， ， ） 3.（2021年河南省南阳市淅川县九年级第一次模拟测试数学试题） 河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇佑元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称．如图，小明的眼睛到地面的距离AB为1.7米，他站在点A处测得塔顶D的仰角为45°，小颖的眼睛到地面的距离EF为1.5米，她站在点E处测得塔顶D的仰角为38°.已知小明与小颖相距125米，求铁塔CD的高度．（结果精确到1米．参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78） 4.（2021年河南省三甲名校中考数学内部押题试卷（一）） 风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米打到山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、 C、H在同一直线上）（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 5.（2021年河南省实验中学中考数学二模试题）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 ， ，求出点D到AB的距离． （参考数据 ， ， ） 6.（2021年河南省新乡市辉县市中考模拟数学试题）如图，某小区一高层住宅楼AB，高60米，附近街心花园内有一座古塔CD，小明在