考点01 圆的相关概念及基本性质-【高频考点】2021-2022学年九年级数学下册高频考点专题突破（华东师大版）

考点01 圆的相关概念及基本性质 知识框架 基础知识点 知识点1-1 圆的定义 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 7）C=2r S= 注：①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧； ③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。 1．（2020·浙江长兴初三期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ） A．2 B．5 C．9 D．11 2．（2020·江苏灌南初三月考）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2021·新都一中实验学校九年级月考）下列说法错误的是（ ）． A．圆有无数条对称轴 B．在同一个圆内，直径的长度是半径长度的2倍 C．圆的位置由圆心决定 D．在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段都相等 4．（2020·山东诸城初三期末）下列说法错误的是（ ） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦 C．过圆心的线段是直径 D．能够重合的圆叫做等圆 5．（2020·浙江九年级期中）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．（2020·贵州紫云初三期末）如图，在中，，的中点．（1）求证：三点在以为圆心的圆上；（2）若，求证：四点在以为圆心的圆上． 知识点1-2 弧、弦、圆心角之间的关系 1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角 2）规定旋转一周为360°，即圆周角为360° 3）①C=2r ②半圆弧长=C ③弧长= （n为圆心角） 4）等圆（半径相同）或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长相等； 5）前提条件：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②对应的弦长相等；③对应的弧长相等。这3个条件中，已知其中任1条件，必可推导出另外2条件（知一推二）。 注：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 1．（2020·江苏宜兴初三月考）下列说法中，正确的是( ) A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等 2．（2020•新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．120° 3．（2020·江苏建湖初三一模）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE． 4．（2021·南京师范大学附属中学树人学校九年级月考）（定义）圆心到弦的距离叫做弦心距． （探究）等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． （应用） （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 知识点1-3 圆的对称性 1）圆是轴对称图，对称轴为直径，有无数条 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 3）实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫作圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 知识点1-4 垂径定理及推论和重要公式 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 2）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④=；⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 3）重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理： 圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 1