专题03 不等式（知识点串讲）-2021-2022学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题03 不等式（知识点串讲） 知识点一 不等式的基本性质 1. 不等关系与不等式 （1）不等式的定义： （1）用不等号(>,<,≥,≤,≠)表示不等关系的式子叫作不等式,如 a>b,a≥b 等； （2）用“>”“<”连接的不等式叫作严格不等式;用“≥”“≤”连接的不等式叫作非严格不等式； 2.不等关系：将实际的不等关系转换成对应的不等式,要注意关键的文字语言与对应的数学符号间的正确转化。 2.不等式的基本性质： （1）性质1：（反身性） （2）性质2：（传递性） （3）性质3：（可加性） （4）推论： （5）性质4:(可乘性) ； （6）性质5：（同向同正可加性） ； （7）（同向正数可乘性） ；（异向正数可除性） （8）（可乘方性） （9）（可开方性） 典例1：不等式的基本性质 （2021·江苏·南京外国语学校高一期中）若 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 且 ，则 D．若 ，则 变式练习：（2021·北京市第三中学高一期中）下面结论正确的是（ ） A．若 ，则有 B．若 ，则有 C．若 ，则有 D．若 ，则有 典例2：利用不等式性质比较数（式）的大小 （2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 变式练习：（2021·山西·怀仁市第一中学校高一期中）下列四个命题中，为真命题的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 典例3：由不等式的性质证明不等式 下列结论正确的个数为（ ） ①两个实数 ， 之间，有且只有 ， ， 三种关系中的一种； ②若 ，则 ； ③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变； ④一个非零实数越大，则其倒数就越小； ⑤ ， ； ⑥若 ，则 ． A．2 B．3 C．4 D．5 变式练习：（2021·重庆市长寿中学校高一月考）下列命题是真命题的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ， 知识点二 基本不等式 1.基本不等式的定义 如果 a,b 是正数,那么 .我们把不等式 称为基本不等式。 2.基本不等式的变式与拓展 （1） ,（当且仅当 时取 号）；变形公式： （2）变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. （3） EMBED Equation.DSMT4 （当且仅当 时取到等号）. （4） （当且仅当 时取到等号）. （5） （当且仅当 时取到等号）. （6） （当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号） （7） 其中 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. （8）平均不等式： EMBED Equation.DSMT4 ,（当且仅当 时取 号）.（即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）. （9） 变形公式： 典例4：基本不等式求和的最小值 （2021·浙江·高一期中）设 ，则 的最小值为（ ） A． B．7 C．4 D．5 变式练习：（2021·福建·内厝中学高一月考）下列不等式的最小值是 的是（ ） A． B． C． D． 典例5：基本不等式求积的最大值 （2021·江苏·南京外国语学校高一期中）已知正数a，b满足 ，则 的最大值为（ ）． A． B．1 C．2 D．4 变式练习： 的最大值为（ ） A．9 B． C．3 D． 典例6：基本不等式“1”的妙用求最值 已知m，n均大于0，且 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．6 C． D．10 变式练习：（2021·河南新乡·高一期中）已知正实数 ， 满足 ，当 取得最小值时， （ ） A． B． C． D． 知识点三 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b