专题02 常用逻辑用语（知识点串讲）-2021-2022学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题02 常用逻辑用语（知识点串讲） 知识点一 命题、定理、定义 1.命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等. （2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. （3）命题“”的真假判定方式： ① 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。 ② 若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可. 2.定理的概念：在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理。 3.定义的概念： (1)在数学中,定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.例如“三条边都相等的三角形叫作等边三角形”“如果ACB,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集”. (2)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别.如“等边三角形”就是通过“三角形”与三条“边”都“相等”来描述的。 3.四种命题 （1）四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为： 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p. （2）四种命题的关系 　　　　　　　　　　 　①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. 　②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. 　除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系。 典例1：判断命题的真假 （2021·甘肃省民乐县第一中学高一期中）下列命题是假命题的有（ ） A．若 ，那么 B．若 ，那么 C．若 ，那么 D．若 ，那么 变式练习：（2021·河南·范县第一中学高一月考）已知集合 ， ，则下列命题中是真命题的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 典例2：四种命题的判断 下列各组中的两个命题互为等价命题的是． A．“ ”与“ ” B．“ ”与“ ” C．“ ”与“ ” D．“ ”与“ ” 变式练习：（2021·浙江浙江·高一期末）命题“若 ，则 或 ”的逆否命题是 A．若 ，则 且 B．若 ，则 或 C．若 或 ，则 D．若 且 ，则 典例3：已知命题的真假求参数 给出命题：方程 没有实数根，若该命题为真命题，则 的一个值可以是（ ） A．4 B．2 C．0 D． 变式练习：已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（ ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 知识点二 充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p则q”形式的命题： 1.从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件与结论之间的关系． ①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； ③若且，则是成立的必要不充分条件； ④若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）. ⑤若且，则是成立的既不充分也不必要条件． 2.从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系． 建立与、相应的集合，即成立，成立． 若，则是的充分条件，若，则是成立的充分不必要条件； 若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件； 若，则是成立的充要条件； 若AB且BA，则是成立的既不充分也不必要条件． 3.充分条件、必要条件、充要条件的注意事项： （1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断. （2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 4.判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法： （2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB. 典例4：判断命题的充分不必要条件 （2021·福建·莆田第二十五中学高一期中）“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分