4.2.1 第2课时 等差数列的性质(Word教参)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第2课时　等差数列的性质 [学习目标] 1.掌握等差数列的有关性质(重点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点).3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题(重点)． (见学生用书P8) 要点一　等差数列的常用性质 1．等差数列通项公式的变形及推广 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，其几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，用这个公式可以通过任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n)，即为直线的斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差． 2．若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则ak＋al＝am＋an＝2ap. 3．若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 4．若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{c＋an}是公差为d1的等差数列(c为任一常数)，{c·an}是公差为cd1的等差数列(c为任一常数)，{an＋an＋k}是公差为2d1的等差数列(k为常数，k∈N*)，{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列(p，q为常数)． 5．若{an}是以d为公差的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列． 要点二　由函数的图象可得等差数列的单调性 当d>0时，数列{an}为递增数列(如图1)； 当d<0时，数列{an}为递减数列(如图2)； 当d＝0时，数列{an}为常数列(如图3)． 　　 　 图1　　　　　　图2　　　　　　图3 思考：已知数列{an}是等差数列，当ap＋aq＝2am时，是否也一定有p＋q＝2m成立？ 提示 不一定．设公差为d，当ap＋aq＝2am时，因为ap＋aq＝[a1＋(p－1)d]＋[a1＋(q－1)d]＝2a1＋(p＋q－2)d，而2am＝2a1＋2(m－1)d，所以2a1＋(p＋q－2)d＝2a1＋2(m－1)d，即(p＋q－2)d＝2(m－1)d，显然当d≠0时，当且仅当2(m－1)＝p＋q－2时，(p＋q－2)d＝2(m－1)d成立，即此时必有p＋q＝2m；而当d＝0时，则对于任意的p，q，m都有(p＋q－2)d＝2(m－1)d成立，此时不一定有p＋q＝2m，即对常数列，当ap＋aq＝2am时，p＋q＝2m不一定成立． 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．(　　) (3)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(　　) 解析 (1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列． (2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列． (3)正确．当d>0时，为递增数列；当d＝0时，为常数列；当d<0时，为递减数列． (4)正确．an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3. 答案 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ (见学生用书P9) 考点一　等差数列性质的应用 规律总结　　 　　　　　　　　　　　　　　 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差进行求解，属于通用方法；或者兼而有之，这些方法都运用了整体代换与方程思想． 【例题1】 (1)已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．30 B．15 C．5 D．10 (2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 解析 (1)因为数列{an}为等差数列，a2＋a4＝6，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝(a2＋a4)＝×6＝15.故选B项． (2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0，所以c37＝100，即a37＋b37＝100.故选C项． 答案 (1)B　(2)C 【变式1】 (1)已知{an}为等差数列，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝____. (2)设数列{an}，{