4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示(Word教参)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及简单表示 [学习目标] 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义(重难点).2.体会等差数列与一元一次函数的关系.3.掌握等差数列的判定方法(重点)． (见学生用书P6) 要点一　等差数列的概念 1．文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零． 2．符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． 要点二　等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，这三个数满足关系式a＋b＝2A. 要点三　等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ 提示 还可以用累加法，过程如下：因为a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，所以an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，所以an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)． 要点四　 等差数列与一次函数的联系与区别 等差数列 一次函数 解析 式 an＝dn＋(a1－d)(n∈N*) f(x)＝dx＋(a1－d)(d≠0，x∈R) 相同 点 当d≠0时，解析式是关于自变量n的一次形式 解析式是关于自变量x的一次形式 不同 点 (1)其中的d是数列的公差，没有限定d≠0，当d＝0时表示的是常数列； (2)定义域为N*或其有限子集； (3)图象是一条直线上均匀分布的一系列孤立的点 (1)其中d是直线的斜率，限定了d≠0； (2)定义域为R； (3)图象是一条不能与x轴平行或重合的直线 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) (4)数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．(　　) 解析 (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有有2an＋1＝an＋an＋2成立． (3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c是等差数列． (4)错误．由等差数列的定义知，该数列从第二项起才是等差数列． 答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)× (见学生用书P6) 考点一　等差数列的通项公式及其应用 规律总结　　 　　　　　　　　　　　　　　 等差数列通项公式的应用 (1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． (2)从函数的角度看等差数列的通项公式．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数． (3)由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，则可以写出数列中的任意一项． 【例题1】 (1)在等差数列{an}中，首项a1＝－1，公差d＝3，则当an＝2 021时，n＝(　　) A．672 B．673 C．674 D．675 (2)在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是(　　) A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 (3)在等差数列{an}中，若a3＝12，a6＝27，则其通项公式为______. 解析 (1)因为an＝a1＋(n－1)d，所以－1＋3(n－1)＝2 021，解得n＝675.故选D项． (2)因为首项a1＝40，公差d＝－3，所以an＝40－3(n－1)＝43－3n.令an＝43－3n<0，解得n>.因为n∈N*，所以n≥15，即第一个负数项是第15项．故选C项． (3)设首项为a1，公差为d，则解得故an＝2＋5(n－1)＝5n－3. 答案 (1)D　(2)C　(3)an＝5n－3 【变式1】 在等差数列{an}中，求解下列各题． (1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝____； (2)已知a1＋a