4.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word教用版）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 答案　C 解析　因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.故选C项． 2．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 答案　D 解析　因为数列{an}，{bn}为等差数列，所以数列{2an－3bn}为等差数列，且公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.故选D项． 3．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝20，所以a3＝4.故选A项． 4．已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9＝(　　) A．12 B．24 C．16 D．32 答案　A 解析　令bn＝，所以a9＝9b9＝12.故选A项．，则b9＝b3＋(9－3)d＝＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝，b15＝＝，由题意可知b3＝ 5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　) A．1升 B． 升 C. 升 升 D． 答案　B 解析　设这一根9节竹子自上而下的容积构成等差数列{an}，公差为d，由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，则4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4，解得a1＝.故选B项．＝＋4×，所以a5＝，d＝ 二、填空题 6．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝____. 解析 因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，所以5a8＝120，即a8＝24，所以2a10－a12＝2(a8＋2d)－(a8＋4d)＝a8＝24. 答案 24 7．已知在等差数列{an}中，5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝______. 解析 由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10. 答案 10 8．若三个数成等差数列，首末两项之积为中间项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，则这三个数依次为______. 解析 设这三个数依次为a－d，a，a＋d，根据已知条件可得故所求的三个数依次为3,9,15或0,0,0.或解得 答案 3,9,15或0,0,0 三、解答题 9．(1)已知在等差数列{an}中，a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13. (2)已知在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析 (1)化成关于a1和d的方程为(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48，所以4a13＝48，所以a13＝12. (2)由题意得所以d＝3或－3.或解得 10．已知首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件： (1)a3＋a5＋a7＝93； (2)满足an>100的n的最小值是15. 试求公差d和首项a1的值． 解析 因为a3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93，所以a5＝31.令an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>，又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.<d≤7＋5<15，解得6＋5.因为n的最小值是15，所以14≤ 11．(多选)下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题中正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 答案　AD 解析　在等差数列{an}中，因为d＞0，所以数列{an}为递增数列，所以A项正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，数列{nan}可能是先减后增，所以B项错误；是递减数列，所以C项错误；an＋3nd＝4dn＋b，因为d＞0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，所以D项正确．故选AD项．＋d，当b＞0时，数列＝＝ 12．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 答案　D 解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1