4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示（Word教用版）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．如果一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5，则下列说法正确的是(　　) A．该数列一定是等差数列 B．该数列一定不是等差数列 C．该数列不一定是等差数列 D．以上结论都不正确 答案　C 解析　如果一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5，该数列可能是等差数列、周期数列或其他数列，所以该数列不一定是等差数列．故选C项． 2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为(　　) A．52 B．62 C．－62 D．－52 答案　A 解析　由题意可得公差d＝－2－(－5)＝3，所以a20＝a1＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.故选A项． 3．若一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则＝(　　) A. B． C. D． 答案　C 解析　因为b是x,2x的等差中项，所以b＝.故选C项．＝，所以，又因为x是a，b的等差中项，所以2x＝a＋b，所以a＝＝ 4．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 答案　A 解析　设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意可以得到解得a1＝47，d＝－8，所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.故选A项． 5．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值是(　　) A．9 B．log25 C．32 D．0或32 答案　B 解析　由2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，得(2x－1)2＝2(2x＋3)，解得2x＝5或2x＝－1(舍去)，所以2x＝5，解得x＝log25.故选B项． 二、填空题 6．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}__(填“是”或“不是”)等差数列，若是，公差为__. 解析 因为an＋1＝an＋为公差的等差数列．(n∈N*)，又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，，所以an＋1－an＝ 答案 是　 7．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是__________. 解析 由题意和等差中项的定义知，x＝2，即a2－2ab－3b2＝0，所以(a－3b)·(a＋b)＝0，所以a＝3b或a＝－b.＝，所以，x2＝ 答案 a＝3b或a＝－b 8．已知首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围为______. 解析 设an＝－24＋(n－1)d(n∈N*)，则.<d≤3.故公差d的取值范围为解得 答案 三、解答题 9．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式． 解析 由题意知所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．解得所以 10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析 (1)证明：因为是等差数列． ，n∈N*，故数列＝－，所以＋＝＝＝＝＝ (2)由(1)知等差数列，n∈N*.，所以数列{an}的通项公式为an＝＝＝1＋(n－1)×，所以＝1，公差为的首项为 11．(多选)已知数列{an}是首项为5，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 021是该数列的一项，则公差d可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　ABC 解析　由题可设an＝5＋(n－1)d，又2 021是该数列的一项，即2 021＝5＋(n－1)d，所以n＝＋1.因为n，d∈N*，所以d是2 016的约数，选项中的2,3,4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数．故选ABC项． 12．(多选)有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A．构成的新数列是等差数列，公差为10 B．构成的新数列是等差数列，公差为12 C．该数列共有16项 D．该数列共有18项 B答案　C 解析　等差数列2,6,10，…，190，公差为4，等差数列2,8,14，…，200，公差为6，所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列2,14,26，…，其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16.故选BC项． 13．已知数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为______. 解析 由题意知.为常数，则1＋2m＝0，故m＝－＝1－＝－＝－ 答案 － 14．等差数列{an}中