必考点08 圆、圆的对称性、垂径定理及圆周角和圆心角的关系-【对点变式题】2021-2022学年九年级数学上学期期中期末必考题精准练（北师大版）

必考点08 圆、圆的对称性、垂径定理及圆周角和圆心角的关系 题型一：圆的概念 【例1】（2020秋•崇川区校级期中）到圆心的距离不大于半径的点的集合是（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【分析】根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决． 【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合； 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合． 所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）． 故选：D． 【例2】（2020·浙江长兴初三期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ） A．2 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【解析】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长≤10．∴的长度不可能是11；故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜l≤10． 题型二：与圆有关的概念 【例3】（2021春•巨野县期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义与性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①弦是直径，错误，符合题意； ②半圆是弧，正确，不符合题意； ③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意； ④圆心相同半径相同的两个圆是同圆，故错误，符合题意， 错误的有3个， 故选：C． 【例4】（2020·江苏宜兴初三月考）下列说法中，正确的是( ) A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B 【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆。B中，等弧所对应的弦相等，故选B C中，圆心角相等所对应的弦可能互补D中，弦相等，圆心角可能互补故选B 点评：此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握 题型三：垂径定理及推论和重要公式 【例5】（2020·上海市静安区实验中学初三期中）下列命题中，假命题是（ ） A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦； D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧． 【答案】C 【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案． 【解析】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题； B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题； C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题； D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个． 题型四：圆周角定理及推论 【例6】（2020·广西初三一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（　　） A．6 B．12 C．6 D．6 【答案】B 【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，根据等边三角形的性质得到AO＝AC＝6，于是得到结论． 【解析】解：连接OA，OC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC＝6，∴⊙O直径为2AO＝12，故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型五：垂径定理的证明、计算及应用 【例7】（2020·湖南长沙初三二模）如图，在中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的长为___． 【答案】3 【分析】先根据C为弧AB的中点得出AB⊥OC，再根据垂径定理求出AD的长，OA=5，在Rt△AOD中根据勾股定理即可得出OD的值． 【解析】连接OA， ∵C为弧AB的中点，∴AB⊥OC，∵AB=8cm，∴ OA=5，在Rt△AOD中， ∵ 即 解得:OD=3. 【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.