专题05 证切线求面积（知识串讲）-2021-2022学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

专题05 证切线求面积（知识串讲） 本课时知识点串讲 1.在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 2.由切线的性质定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 3.求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果． 4.三招求阴影部分的面积 思路：(1)将所求阴影部分的面积转化为已学过的易求图形的面积的和差； (2)适当作辅助线，将所求阴影部分面积割补为学过的易求图形的面积． 方法：(1)作差法；(2)割补法；(3)等积变形法． 例1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得，线段DC，AB的延长线交于点E． （1）求证：直线DC是⊙O的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】 （1）连接OC，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCO＝∠DAO＝90°，于是得到结论； （2）根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到OC＝OB＝BC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． （1）证明：连接OC，如图所示： ∵直线l与⊙O相切于点A， ∴∠DAB＝90°， ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA， ∴∠DCA＋∠ACO＝∠DAC＋∠CAO， 即∠DCO＝∠DAO＝90°， ∴OC⊥CD， ∴直线DC是⊙O的切线； （2）解：∵∠CAB＝30°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝60°， ∵OC＝OB， ∴△COB是等边三角形， ∴OC＝OB＝BC＝2， ∴， ∴图中阴影部分的面积＝＝． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 【跟踪训练】 1．如图，在中，°，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）相切，见解析；（2） 【分析】 （1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线； （2）在直角三角形中，设，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形的面积减去扇形面积即可确定出阴影部分面积． 【详解】 解：（1）与相切． 证明：连接． 是的平分线， ． 又， ． ． ． ，即． 又过半径的外端点， 与相切． （2）设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：，即， ， 中，， ， ， ， 则阴影部分的面积为． 故阴影部分的面积为． 【点睛】 本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 2．如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连接AB，AE，AO，∠C=30°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：BO=CE； （3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积.（结果保留π） 【答案】（1）∠ABC=30°；（2）见解析；（3）图中阴影部分的面积为． 【分析】 （1）根据切线性质易得∠AOC=60°；根据圆周角定理即可求解： （2）利用（1）易得△AOE是等边三角形，继而根据等边三角形的性质和等角对等边的性质及等量代换即可求证结论； （3）利用切割法△AOC面积减去扇形AOE的面积即可求得答案 【详解】 （1）∵CA为⊙O的切线，A为切点， ∴∠OAC＝90°， ∵∠C=30°， ∴∠AOC=60°， ∵∠ABC＝∠AOC=30°； （2）由（1）得：∠AOE=60°， 又AO＝OE ∴△AOE是等边三角形， ∴∠OAE＝60°，AO＝OE＝AE， ∴∠CAE＝30°＝∠C， ∴AE＝CE， ∴CE＝OE＝BO； （3）∵⊙O的半径为6， ∴AO＝6， 在Rt△AOC中 ∵∠OAC＝90°，∠AOC＝60°，∠C＝30° ∴CO＝12，AC＝ ∵S△AOC＝， S扇形AOE＝， ∴S阴影＝S△AOC－S扇形AOE＝． 【点睛】 本题考查切线的性质、圆周角定理、扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握圆的切线垂直且经过切点的半径． 例2．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，过圆心O作弦BC的垂线，交过点C的切线 于点D，OD交⊙O于点E，连接AC，BD． （1）求证：BD是⊙O