3.3 二项式定理与杨辉三角-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第三章 排列､组合与二项式定理 3.3 二项式定理与杨辉三角 知识梳理 1二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*). (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理. (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有项. (3)二项式系数：各项的系数 (k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数. 2.二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝an－kbk 3.杨辉三角与二项式系数的性质 因为(a+b)0=1，所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成如下数表形式: 杨辉三角的性质: (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上，设表中任一不为1的数为，那么它上一行中与这个数相邻的两个数分别为 和由组合数的性质，有=1，=1，. (3)对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知，二项式系数，…，，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. (4)二项展开式的二项式系数的和等于2n. 在(1+x)n=xn+xn-1+xn-2+…+x0中，令x=1，则+…+=2n. 常见考点 考点一 二项展开式的第k项 典例1．的展开式中的第7项为（ ） A．3546 B．5437 C．4532 D．5376 【答案】D 【分析】 直接根据二项展开式通项公式计算． 【详解】 ， 故选：D. 变式1-1．的展开式的第3项是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据二项式定理展开式求解即可. 【详解】 由二项式定理展开式的通项公式得：. 故选：B 变式1-2．的二项展开式中，第4项是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据二项式写出其展开式通项，确定第4项对应的r值，进而求第4项即可. 【详解】 展开式的通项为， ∴第4项为． 故选：C． 变式1-3．展开式中的第项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据二项式展开式的通项公式求得正确结论. 【详解】 展开式中的第项为． 故选；A 考点二 求指定项的二项式系数或系数 典例2．的展开式中含项的二项式系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求得的值，即可求解. 【详解】 的展开式的通项为：， 令可得， 所以含项的二项式系数为， 故选：D. 变式2-1．在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题可通过二项式系数的定义得出结果. 【详解】 第项的二项式系数为， 故选：A. 变式2-2．的展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用二项式定理展开式的通项公式可求的系数. 【详解】 因为的展开式的通项公式为， 令可得，所以的系数为. 故选：B. 变式2-3．二项式展开式的常数项等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据展开式通项，令可求得，代入展开式通项即可求得常数项. 【详解】 展开式通项为， 令，解得：， 展开式的常数项为. 故选：A. 考点三 二项式系数之和 典例3．已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可得，即可求解. 【详解】 由题意可得：，解得：， 故选：A. 变式3-1．的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A．0 B． C． D．32 【答案】D 【分析】 根据的二项展开式系数之和为求解即可 【详解】 的二项展开式中所有项的二项式系数之和为 故选：D 变式3-2．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知条件，可得，即，由二项式系数和的公式，即得解 【详解】 由题意，展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，故 因此，所有项的二项式系数和为 故选：C 【点睛】 本题考查了二项式系数的性质和二项式系数和，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题 变式3-3．的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A．20 B． C．60 D． 【答案】C 【分析】 利用二项式系数可得，再由二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】 由题意得，故. 所以原式为， 通项为， 令得， 故常数项为：. 故选：C. 考点四 展开式各项系数之和